34、Python 中自动求导的实现与应用

Python 中自动求导的实现与应用

1. 函数求导基础

在函数求导的过程中，对于一些复杂的函数，如 $-\frac{1}{\sin(x)}$，求导过程会相对复杂。当函数为复合函数 $f(x) = g(h(x))$ 时，需要使用链式法则来求导。

链式法则：若 $f(x)$ 是两个函数的复合，即 $f(x) = g(h(x))$，则 $f$ 的导数为 $f’(x) = h’(x) \cdot g’(h(x))$。

例如，求 $\ln(\cos(x))$ 的导数，从表中可知 $g’(x) = \frac{1}{x}$，$h’(x) = -\sin(x)$，代入链式法则公式可得：
$f’(x) = h’(x) \cdot g’(h(x)) = -\sin(x) \cdot \frac{1}{\cos(x)} = -\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$
又因为 $\frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)$，所以 $\ln(\cos(x))$ 的导数可更简洁地表示为 $\tan(x)$。

2. 求导练习

以下是一些求导练习及其解答：
- 练习 10.15 ：证明 $f(x) = x^5$ 的导数为 $f’(x) = 5x^4$。

def p(x):
    return x**5

plot_function(derivative(p), 0, 1)
plot_function(lambda x: 5*x**4, 0, 1)