28、理解变化率：导数与积分的奥秘

理解变化率：导数与积分的奥秘

在数学和实际应用中，理解函数的变化率是非常重要的。本文将深入探讨如何计算瞬时变化率（导数）以及如何从变化率恢复原函数（积分），并通过Python代码进行实现和验证。

1. 计算瞬时变化率（导数）

1.1 瞬时斜率与导数的概念

为了找到函数在某一点的瞬时斜率，也就是瞬时变化率，我们可以通过计算越来越小的割线斜率来逼近。例如，对于体积函数，我们可以找到在 $t = 1$ 时的瞬时流量。代码中的 flow_rate(1) 函数给出了与割线斜率逼近相同的结果：

>>> flow_rate(1)
0.421875

当函数在某一点存在切线时，切线的斜率就是该函数在这一点的导数。例如，体积函数在 $t = 1$ 处的导数为 0.421875 桶/小时。

1.2 构建瞬时流量函数

要实现 instantaneous_flow_rate 函数，我们需要解决Python无法直接判断割线斜率收敛值的问题。我们可以通过计算越来越小的割线斜率，直到它们在一定小数位数上稳定。以下是Python代码实现：

def instantaneous_flow_rate(v,t,digits=6):
    tolerance = 10 ** (-digits) 
    h = 1
    approx = average_flow_rate(v,t-h,t+h)