18、向量、矩阵变换与高维空间的泛化探索

向量、矩阵变换与高维空间的泛化探索

1. 矩阵平移向量

将平移操作封装成矩阵运算后，我们能够将其与其他 3D 线性变换相结合，一步完成多种变换。在这个设定中，人为引入的第四坐标可以被解释为时间 $t$。

例如，有一个以恒定速度沿 $(2, 2, -3)$ 方向移动的茶壶，图 5.36 中的两张图像可以看作是茶壶在 $t = 0$ 和 $t = 1$ 时刻的快照。如果想进行一个有趣的挑战，可以将实现中的向量 $(x, y, z, 1)$ 替换为 $(x, y, z, t)$ 形式的向量，其中坐标 $t$ 随时间变化。当 $t = 0$ 和 $t = 1$ 时，茶壶应与图 5.36 中的帧匹配，在这两个时间之间，它应在两个位置之间平滑移动。

1.1 练习题及解答

1.1.1 练习 5.26

将像恐龙这样的 2D 图形移动到平面 $z = 2$ 时，3D “神奇” 矩阵变换不起作用。使用 [(x,y,2) for x,y in dino_vectors] 并应用相同的 3×3 矩阵，恐龙会被向量 $(6, 2)$ 平移，而不是 $(3, 1)$，平移距离变为原来的两倍。这是因为向量 $(0, 0, 1)$ 被 $(3, 1)$ 平移，且该变换是线性的。

1.1.2 练习 5.27

要将恐龙在 $x$ 方向平移 -2 个单位，在 $y$ 方向平移 -2 个单位，可将原始矩阵中的值 3 和 1 替换为 -2 和 -2，得到相应矩阵。恐龙会按向量 $(-2, -2)$ 向左下方平移。

1.1.3 练习 5.28

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