48、聚类理论与NP完全性问题解析

聚类理论与NP完全性问题解析

1. 线性规划对偶化

在优化问题中，松弛形式是一种重要的转换方式。通过添加 (m) 个非负变量 (s_1, \cdots, s_m)，并将原问题的约束替换为 (Ax + s = b)，(x \geq 0_n)，(s \geq 0_m)，可以得到松弛形式。其矩阵形式为 (\begin{pmatrix}A & I_m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \ s\end{pmatrix} = b) 且 (\begin{pmatrix}x \ s\end{pmatrix} \geq 0_{n + m})。

对偶化可以进行如下推广：
- 原问题 ：
- 变量约束可以是 (x_i \geq 0)，(x_i \leq 0) 或 (x_i) 无约束（即 (x_i \in R)）。
- 目标是最大化 (f(x) = c’x)。
- 线性约束可以是 ((Ax) i \leq b_i)，((Ax)_i \geq b_i) 或 ((Ax)_i = b_i)。
- 对偶问题 ：
- 对于每个原约束 (a {j1}x_1 + \cdots + a_{jn}x_n \sigma \beta_j)，对应对偶变量 (y_j) 的约束 (y_j \sigma’ 0)，其中 (\sigma’) 的取值规则为：
- 若 (\sigma) 是 (\leq)，则 (\sigma’) 是 (\geq)。
- 若 (\sigma) 是 (\geq)，则 (\sigma’) 是 (\leq)。
- 若 (