46、矩阵理论中的关键概念与分解方法

矩阵理论中的关键概念与分解方法

1. 酉矩阵与正交投影

酉矩阵是矩阵理论中的重要概念。对于一个方阵 (A \in C^{n\times n})，若满足 (AA^H = A^HA = I_n)，则称 (A) 为酉矩阵；若 (A \in R^{n\times n}) 是实方阵，当 (AA’ = A’A = I_n) 时，(A) 也是酉矩阵。酉矩阵具有保持向量长度的特性，即 (|Av|_2 = |v|_2)。证明如下：
[
\begin{align }
|Av|_2^2&=(Av)^H Av\
&= v^H A^H Av\
&= v^H v\
&= |v|_2^2
\end{align }
]

在正交投影方面，设 (U) 是 (C^n) 中的 (m) 维子空间，({u_1, \ldots, u_m}) 是该子空间的一组标准正交基，向量 (x \in C^n) 在子空间 (U) 上的正交投影为 (u = (x, u_1)u_1 + \cdots + (x, u_m)u_m)。

对于正交投影，还有以下重要定理和结论：
- 定理：设 (U) 是 (R^n) 中的 (m) 维子空间，(x \in R^n)，则向量 (y = x - \text{proj} U(x)) 与子空间 (U) 中的每个元素都正交。
- 定理：设 (U) 是 (C^n) 中的 (m) 维子空间，其标准正交基为 ({u_1, \ldots, u_m})，对于 (x \in C^n)，正交投影 (\text{proj}_U(x) = B_U B_U^H x)，其中 (B_