39、聚类相关理论与性质探究

聚类相关理论与性质探究

1. 最大模块化聚类与模块化最大化复杂度

最大模块化聚类不包含不相连的聚类。这一结论源于特定定理以及对孤立节点的排除。关于模块化最大化的复杂度研究表明，在图 $G$ 中存在模块化大于常数 $k$ 的聚类这一问题，在强意义下是 NP 完全的。

2. 聚类相关练习与补充

2.1 距离证明

对于有限集 $S$，定义映射 $\delta : PART(S)^2 \to \mathbb{R}_{\geq 0}$ 为 $\delta(\tau, \kappa) = 1 - R(\tau, \kappa)$，可证明它是 $PART(S)$ 上的距离。

2.2 聚类中元素对数量计算

设 $\pi = {B_1, \ldots, B_n}$ 是有限集 $S$ 的一个划分，位于 $\pi$ 同一聚类中的两个不同元素的集合数量 $c(\pi)$ 为：
[c(\pi) = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} |B_i|^2 - \frac{|S|}{2}]
同时，$H_2(\pi) = 2 \left(1 - \frac{1}{|S| - 2} \frac{c(\pi)}{|S|^2} \right)$。

2.3 子模性证明

若函数 $f : PART(S) \to \mathbb{R}$ 满足 $f(\tau) + f(\rho \land \sigma) \leq f(\tau \land \rho) + f(\tau \land \sigma)$ 或 $f(\tau) + f(\rho \lor \sigma) \le