27、超度量、最小生成树与层次聚类算法解析

超度量、最小生成树与层次聚类算法解析

1. 超度量与最小生成树基础

在实际场景中，比如登山者攀爬复杂地形时，会面临路径选择的问题。假设地形用加权图表示，登山者从点 (v_1) 到点 (v_7) 有多种简单路径可选，像 ((v_1, v_4, v_8, v_9, v_7))、((v_1, v_3, v_{10}, v_7))、((v_1, v_3, v_{11}, v_7))、((v_1, v_2, v_5, v_6, v_7)) 等。登山者会根据每条路径中最困难的路段来选择，即选择最大难度最小的路径，这里((v_1, v_2, v_5, v_6, v_7)) 就是这样的路径。

从数学角度来看，对于一个具有正权重函数 (c) 的完全加权图 (K = (V, E, c))，对于 (℘∈paths_K(u, v))，定义 (M(℘) = \max{c(x, y) | {x, y} \text{ 是 } ℘ \text{ 上的一条边}})，以及 (\delta(u, v) = \min{M(℘) | ℘∈paths_K(u, v)})。可以证明函数 (\delta : V × V \to \mathbb{R}_{\geq 0}) 是 (V) 上的一个超度量。证明过程如下：
- (\delta(u, u) = 0)，因为 (u) 到 (u) 的唯一路径是 (℘_0 = (u))，且 (M(℘_0) = 0)；反之，若 (\delta(u, v) = 0)，则 (u = v)。
- 显然 (\delta(u, v) = \delta(v, u)) 对于 (u, v ∈ V) 成立。
- 对于 (u, v, w ∈ V)，设 (\delta(u, v) = p)，(\delta(v,