20、聚类算法：从基础理论到实际应用

聚类算法：从基础理论到实际应用

1. 图论与聚类基础

在图论相关内容中，存在一个有趣的对应关系。设 (t) 是满足 (C) 的真值赋值，我们可以定义一个独立集 (Y)，使得 (Y \subseteq W) 且 (S \cup Y) 是图 (G) 的一个二部完全子图（biclique）。具体步骤如下：
1. 首先定义集合 (Y_1) 为 (W) 中对应于 (t) 取值为 1 的文字的顶点集。根据定义，(Y_1) 是图 (G) 的一个独立集，且对于 (1 \leq i \leq n)，至少包含一个顶点 (w_{ij})。
2. 然后让 (Y) 是包含 (Y_1) 的图 (G) 的最大独立集，显然 (Y \subseteq W)。由于 (|C| > 1) 且每个顶点 (z_i \in Z) 与 (Y_1 \subseteq Y) 中的顶点 (w_{ij}) 不相邻，所以 (S \cup Y) 是一个二部完全子图。

反之，如果 (S \cup Y) 是图 (G) 的一个二部完全子图，因为 (S \cup Z) 是图 (G) 的独立集，所以 (Y \subseteq W)。并且 (S \cup Y) 的极大性意味着对于每个 (z_i \in Z)，都存在 (w_{ij} \in Y)。由于 (Y) 是稳定集，每个 (w_{ij}) 对应一个文字 (\ell)，其互补文字 (\overline{\ell}) 不属于 (Y)。因此，对于每个子句 (C_i)，都存在至少一个对应的顶点 (w_{ij} \in Y)，从而定义了一个满足 (C) 的真值赋值。

2. 经典算法的出处

以下是一些经典算法和定理的出处：
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