19、图论中的流、超图及相关算法与性质

图论中的流、超图及相关算法与性质

1. 图中最短路径的Floyd - Warshall算法

Floyd - Warshall算法用于计算加权有向图中从一个顶点到其他所有顶点的最短路径长度。以下是该算法的详细信息：
- 输入数据 ：加权有向图 (G = (V, E, c)) 以及图中边的权重矩阵。
- 输出结果 ：从顶点 (u_0) 到图中每个顶点 (v \in V) 的最短路径长度。
- 算法步骤 ：

1. i ← 0;
2. ℓ(u0) ← 0;
3. ℓ(v) ← ∞ 对于 v ≠ u0;
4. M0 ← {u0};
5. while i ≤ |V| - 1 do
    6. forall v ∈ V - Mi do
        7. 用 min{ℓ(v), ℓ(ui) + c(ui, v)} 替换 ℓ(v);
    8. 令 ui+1 为 Mi 中使得 ℓ(ui+1) = minv∈Mi ℓ(v) 的顶点;
    9. Mi+1 ← Mi ∪ {ui+1};
    10. i ← i + 1;
    11. end
12. end

该算法通过动态规划的思想，逐步更新从起始顶点到其他顶点的最短路径长度。

2. 图中的流

在有向图 (G = (V, E, c)) 中，(c(u, v)) 表示边 ((u, v) \in E) 的容量。下面我们来详细了解流图的相关概念。
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