29、旧算法的新边界

旧算法的新边界

1. 新成果

在具有 $O(n)$ 个节点和边以及随机权重的稀疏图类上，我们显著加强了多个标签校正单源最短路径（SSSP）算法平均情况复杂度的下界。对于列表类的两个代表性算法，即使用像先进先出（FIFO）队列这样简单列表数据结构的算法，我们将其下界从 $\Omega(n^{4/3 - \varepsilon})$ 提高到 $\Omega(n^2)$，这两个算法分别是 Bellman - Ford 算法和 Pallottino 算法。

对于使用近似优先队列的 SSSP 算法，我们也改进了相关结果。对于 Dijkstra 算法的近似桶实现（即 ABI - Dijkstra），我们将其下界从 $\Omega(n \log n / \log \log n)$ 提高到 $\Omega(n^{1.2 - \varepsilon})$。对于 $\Delta$ - 步进算法（可视为 ABI - Dijkstra 的改进版本），其下界从 $\Omega(n \sqrt{\log n / \log \log n})$ 提高到 $\Omega(n^{1.1 - \varepsilon})$。

之前的构造依赖于多个独立的小装置路径 $P_1, P_2, \cdots$，使得遍历 $P_i$ 所需的边数比 $P_{i + 1}$ 少，但 $P_i$ 的最短路径权重以足够高的概率大于 $P_{i + 1}$ 的最短路径权重。相比之下，通过使用新的小装置设计，我们可以使 $P_i$ 成为 $P_{i + 1}$ 的子路径，从而更好地利用整个图节点集，强制进行大量（预期）的边松弛操作。

最后，实验结果表明，我们的新构造不仅在渐近性能上有所改进，而且具有良好的常数。例如，即使对