23、3 - 击中集与装箱游戏的核心问题研究

3 - 击中集与装箱游戏的核心问题研究

有界度超图上的3 - 击中集问题

有界度超图上的3 - 击中集问题是一个重要的研究领域。在解决该问题时，有一个算法在顶点数量不超过 (4k - k^{0.2692}) 时停止，步骤0 - 5的执行次数最多为 (k^{0.2692})，因此该算法的运行时间为 (O(k^{1.2692}))。

为证明算法的正确性，我们从以下几个方面进行分析：
- 规约规则的有效性 ：规约规则1 - 3是合理的，所以子例程Reduce(H, k)是正确的，算法的步骤1有效。
- 步骤2的正确性 ：若步骤2中 (|B| > 6k^{0.2692})，且 (|V| > 4k - k^{0.2692})（由步骤1可知），根据引理6，超图H不存在大小至多为k的击中集，算法可拒绝该实例。
- 步骤5的正确性 ：若算法在步骤5中移除顶点v，由于 (v \in V(H) - V(F))，v与B中任何坏顶点的距离大于 (\log_{3.6235} k)。又因为 (|V| > 4k - k^{0.2692})，根据引理10，存在不包含v的解，所以可安全地从H中移除v。

算法返回的实例 ((H’, k’)) 与实例 ((H, k)) 等价，且实例大小至多为 (4k’ - k’^{0.2692})。这是因为算法仅在步骤2和4返回等价实例，若在步骤2返回，实例大小显然至多为 (4k’ - k’^{0.2692})；若在步骤4返回，H中的顶点数受 (4|B|^{2.562\log_{3.6235} k’ + 1} + |B| &