15、利用有界信号流进行图定向的研究与实践

利用有界信号流进行图定向的研究与实践

在图定向问题的研究中，最大树定向（MTO）及其加权版本（W - MTO）是重要的研究方向。本文将围绕这两个问题，探讨如何利用有界信号流来优化求解过程，同时分析不同参数对问题复杂度的影响，并通过实际的蛋白质网络实验进行验证。

研究背景与贡献

在图定向领域，前人已经开展了诸多研究。例如，Silverbush 等人近期使用整数线性规划对混合图进行了实验；Hakimi 等人研究了 MTO 的特殊情况，即待满足的顶点对列表包含所有可能的对，并为该情况开发了二次时间算法。

本文的主要贡献在于对 MTO 进行参数化和多变量复杂度分析，以更好地理解 MTO 可处理和不可处理情况之间的边界。具体聚焦于顶点和边上的“信号流量”对 MTO 计算复杂度的影响，取得了以下成果：
1. 基于顶点信号流参数的求解 ：在 n 顶点树中，W - MTO 可在 $O(2^{m_v} · |P| + n^3)$ 时间内求解，其中 $m_v$ 表示通过任何树顶点的最大连接路径数，这表明 W - MTO 关于参数 $m_v$ 是固定参数可处理的。
2. 引入交叉对概念 ：提出交叉对的概念，证明无交叉对的 W - MTO 实例可在二次时间内求解，同时将 Medvedovsky 等人在路径上的 MTO 三次时间算法改进为二次时间。
3. 基于交叉对参数的求解 ：W - MTO 关于参数 $q_v$（任何顶点上的最大交叉对数）是固定参数可处理的，可在 $O(2^{q_v} · n^2 · q_v)$ 时间内求解。
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