7、精确算法解决有色图区间化问题

精确算法解决有色图区间化问题

1. 引言

在有色图区间化问题中，给定一个图 $G = (V, E)$ 以及对其顶点的恰当着色 $c : V → {1, …, k}$（恰当着色意味着对于所有边 ${v, w} ∈ E$，都有 $c(v) ≠ c(w)$），需要判断 $G$ 是否为一个恰当着色的区间图的子图，也就是能否添加边，使得每条边连接的两个顶点颜色不同，并且最终得到的图是区间图。该问题最初源于 DNA 物理映射。

这个问题是 NP 完全问题，即使颜色数量 $k$ 等于 4，并且输入限制为毛虫树时也是如此。我们将颜色数量 $k$ 固定的问题版本称为“$k$ - 有色图区间化问题”，而颜色数量可能无界的版本称为“有色图区间化问题”。

当颜色数量 $k = 2$ 时，该问题可以在线性时间内轻松解决；对于 $k = 3$ 的情况，需要一个复杂的算法在二次时间内解决；对于 $k$ 至少为 4 的情况，我们给出了一个精确算法，其运行时间略小于指数时间。大多数具有亚指数算法的 NP 难问题通常处理平面图及其推广，而我们的结果是一个例外，输入为一般图，运行时间为 $O^*(2^{n/(log^{1 - ϵ}(n))})$，其中 $ϵ > 0$。

2. 预备知识

• 图的基本概念 ：本文中的图是无向简单图。若未特别说明，考虑的是带标签的图，即两个同构但标签不同的图被视为不同的图；同时也考虑无标签的图，两个同构的无标签图被视为同一对象。图 $G = (V, E)$ 的顶点数记为 $n$。对于图 $G$ 和顶点集 $W ⊆ V$，$G[W]$ 表示由 $W$ 诱导的子图。