卡普雷卡数

传说数学家 卡普雷卡 （Kaprekar）偶然发现铁路旁的里程碑“3025”被雷击得一分为二：30与25.他敏锐地注意到：30+25=55，55^2=3025。
现称这样具有分段和平特性的整数为卡普雷卡数。
先探讨搜索4位卡普雷卡数的基础上引申至一般偶数位卡普雷卡数，并进一步拓广到2段和平方数。

搜索4位卡普卡雷卡数

一个4位整数分为前后两个2位数，若该数等于所分两个2位数和的平方，则称该数为4位卡普雷卡数。
试求出所有的4位卡普雷卡数。

1.说明：
设4位整数a=b*b，存在以下两个枚举方案：

（1）、循环枚举所有4位整数a，应用取整函数（int）和求余（%）把a分段为前后两个2位整数x，y，通过条件判别：若满足a=（x+y）^2且y>=10，即找到卡普雷卡数a，进行打印输出；
（2）、循环枚举2位整数b，求出a=b*b，对平方数a同上分段为前后两个2位整数x，y，进行判别：若满足b=x+y且y>=10，即找到卡普雷卡数a，进行打印输出。

显然方案二的枚举次数较少，较为简单。

2.程序设计：

#include<stdio.h> 
#include<math.h>
int main()
{
   int a,b,c,x,y;
   printf("4位卡普雷卡数：");
   c=(int)sqrt(1000);
   for(b=c+1;b<=99;b++)    /*枚举2位整数b*/
   {
      a=b*b;
      x=a/100;
      y=a%100;         /*a分为前后两个整数*/
     if(y>=10&&b==(x+y))
        printf("%d,",a);
   }
   printf("\n");
}

3.程序运行示例及其注意事项：

4位卡普雷卡数有：2025,3025，

注意：分段和条件检验中的y>=10是确保y为2位数。若去除y>=10的限制，则还有9801，该数分解的两段，前段为一个2位数98，后段是一个1位数1，不符合“分段为前后两个2位整数”的要求。

探求偶数n位卡普雷卡数

偶数n位卡普雷卡数分为前后两个n/2位整数，该数等于所分两个数和的平方；
输入偶数n（4<=n<=14），输出所有的n位卡普雷卡数。

1.说明：
注意到n超过10位，相关变量设置为双精度实型。

1）、设置枚举循环；
设n位平方数a=b*b，求出b的最小值c与最大值d，
设置b（c~d）循环，循环中a=b*b即为n位平方数。
2）、实施分段；
同时设置分段特征量w=10^(n/2)，对平方数a应用取整x=floor（a/w）和求余y=fmod（a，w）计算a分段前后的两个n/2位整数x，y。
3）、分段和判别；
如果后一段首位为0，则导致整数y不足n/2位，为此需要加上条件y>=w/10，
若满足条件b=x+y且y>=w/10，即找到n位卡普雷卡数a，进行打印输出。

2.程序设计：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
   double a,b,m,w,x,y;
   int k,n;
   long c,d;
   while(1)
   {
      printf("请输入偶数n位(n<=14):");
         scanf("%d",&n);
      if(n%2!=0)
         printf("对不起！你输入的不是偶数，请你重新输入！\n");
      else
         break;
   }      
      printf("%d位卡普雷卡数有: \n",n);
   for(m=1,k=2;k<=n;k++)
      m*=10;
   for(w=1,k=1;k<=n/2;k++)
      w*=10;
   c=(long)pow(m,0.5);  /*求出枚举b循环的起点*/
   d=(long)pow(10*m-1,0.5);  /*求出枚举b循环的终点*/
   for(b=c+1;b<=d;b++)
   {
      a=b*b;
      x=floor(a/w);
      y=fmod(a,w);
      if(b==x+y&&y>=w/10)  /*分段和条件检验*/
         printf("   %.0f=(%.0f+%.0f)^2 \n",a,x,y);
   }
}

3.程序运行示例及其注意事项：

请输入偶数n位（n<=14）: 14
14位卡普雷卡数有:
19753082469136=(1975308+2469136)^2
24284602499481=(2428460+2499481)^2
25725782499481=(2572578+2499481)^2
30864202469136=(3086420+2469136)^2

注意：以上所得4个14位卡普雷卡数，所分的前后两段都是7位整数。

2段和平方数

作为卡普雷卡数的进一步推广，推出2段和平方数。

定义：把一个n位正整数a分为前后两段（两段的位数不要求相等，两段所生成的两个正整数的位数之和也不要求等于n），若分段的两个正整数之和的平方等于a，则称a为2段和平方数。
例如：88209=（88+209）^2,88209就是一个把自身分为两段“88”与“209”的和的平方数，即2段和平方数。

显然，前面的偶数位卡普雷卡数是偶数位2段和平方数的特例，
输入位数n（2<=n<=16），搜索并输出所有的n位2段和平方数。

1.说明：
注意到n位数比较大，n位数及其相关数据设置为双精度实型。

1）、设置枚举循环；
设a=b * b，a为n位整数，求出b的取值范围[c,d]，设置枚举b（c~d）循环，循环中计算的a=b * b确保为n位平方数，
2）、实施分2段；
把一个n位数分为前后两段有n-1种分法：设置分段操作的k（1~n-1）循环，循环中模拟分段的变量w从1开始，通过自乘10可分别得w=10,100，…，10^(n-1)。应用取整x=floor（a/w）和取余y=fmod（a，w）等操作把整数a分为前后两个整数x和y。
3）、分段和条件检验；
在分段操作的k（1~n-1）循环中，每分段得两个整数x和y，检验若b=x+y，则满足分段和平方数条件，
注意到如果后段的首位可能为0，则两个正整数x，y的位数之和可能小于n，这是允许的；如果后段全部为0，则整数y为0而非正整数，这是不允许的，
因而在分段和条件检验中，除了检验b=x+y之外，需要加上条件y>0 。

2.程序设计：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
   double a,b,m,w,x,y;
   long c,d;
   int k,n,s=0;
   printf("请输入正整数n（2<=n<=16）:");
      scanf("%d",&n);
   for(m=1,k=2;k<=n;k++)
      m*=10;
   c=(long)pow(m,0.5);
   d=(long)pow(10*m-1,0.5);
   for(b=c+1;b<=d;b++)
   {
      a=b*b;    /*a位n位平方数*/
      w=1;
      for(k=1;k<=n-1;k++)
      {
         w*=10;
         x=floor(a/w);
         y=fmod(a,w);  /*n位平方数a分为前后两段x，y*/
         if(b==x+y&&y>0)  /*分段和检验*/
         {
            s++;
            printf("  %.0f=(%0.f+%0.f)^2 \n",a,x,y);
         }
      }
   }
   if(s>0)
      printf("共%d个%d位2段和平方数。\n",s,n);
   else printf("没有%d位2段和平方数。\n",n);
}

3.程序运行示例及其注意事项：

请输入正整数n（3<=n<=15）:11
 20408122449=(20408+122449)^2
 21948126201=(21948+126201)^2
 33058148761=(33058+148761)^2
 35010152100=(35010+152100)^2
 43470165025=(43470+165025)^2
共5个11位2段和平方数。

注意：运行程序可知，若位数n为奇数时，所分两段位数一般只相差1（如n=11时，一段为5位，另一段为6位）；若位数n为偶数时，所分两段位数相等（如n=14时，两段都为7位）。

因此，对以上程序前后两端实施n-1种分发应该可以简化：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
   double a,b,m,w,x,y;
   long c,d;
   int k,n,s=0;
   printf("请输入正整数n（3<=n<=15）:");
      scanf("%d",&n);
   for(m=1,k=2;k<=n;k++)
      m*=10;
   c=(long)pow(m,0.5);
   d=(long)pow(10*m-1,0.5);
   for(b=c+1;b<=d;b++)
   {
      a=b*b;    /*a位n位平方数*/
     for(w=1,k=1;k<=n/2;k++)
        w*=10;
      for(k=0;k<=n%2;k++)  /*由n的奇偶控制循环次数*/
      {

         x=floor(a/w);
         y=fmod(a,w);  /*n位平方数a分为前后两段x，y*/
         if(b==x+y&&y>0)  /*分段和检验*/
         {
            s++;
            printf("  %.0f=(%0.f+%0.f)^2 \n",a,x,y);
         }
      w*=10;
      }
   }
   if(s>0)
      printf("共%d个%d位2段和平方数。\n",s,n);
   else printf("没有%d位2段和平方数。\n",n);
}