猴子爬山

一个顽猴在一座有40级台阶的山上爬山跳跃，猴子上山一步可跳1级或跳3级，试求顽猴上山的40级台阶有多少种不同的跳法；

1.递推设计：

这一问题实际上是一个整数有序可重复拆分问题；

试设置数组应用递推求解，设上k级台阶的不同跳法为f（k）种；

（1）、探求f（k）的递推关系；

上山最后一步到达第40级台阶，完成上山，共有f（40）种不同的爬法，到第40级之前位于哪一级呢？无非是位于第39级（上跳1级即到），有f（39）种；或位于第37级（上跳3级即到），有f（37）种，于是：

• f（40）=f（39）+f（37）

以此类推，一般地有递推关系：

• f（k）=f（k-1）+f（k-3） （k>3）

（2）、确定初始条件；

• f（1）=1，即1=1；

• f（2）=1，即2=1+1（注意：跳法中不允许直接跳2级）；

• f（3）=2，即3=1+1+1，3=3；

（3）、实施递推；

根据以上递推关系与初始条件设置一重k（4~n）循环，循环外确定初始条件，循环内实施递推：

• f[k]=f[k-1]+f[k-3]，即可求出f（n）；

此具体案例的递推设计比较简单，时间复杂度为O（n）；

2.程序设计：

#include<stdio.h>
int main()
{
   int k,n;
   long f[1000];
   printf("请输入台阶总数n:");
   scanf("%d",&n);
   f[1]=1;                 /*数组元素赋初值*/
   f[2]=1;
   f[3]=2;      
   for(k=4;k<=n;k++)
      f[k]=f[k-1]+f[k-3];  /*按递推关系实施递推*/
   printf("共有%ld种不同的爬法  \n",f[n]);
}

3.程序运行示例：

请输入台阶总数n:40
共有2670964种不同的爬法

4.一般情形的分级递推：

把问题引申为爬山n级台阶，一步有m种跨法，具体一种跨法跳多少级均从键盘输入；

（1）、分级递推设计；

1）、设置两个数组；

爬山t级台阶的不同爬法为f（t），从键盘输入一步跨多少级的m个整数为x[i]（i=1，2，……，m）；

这里的整数x（1），x（2），……，x（m）（约定x（1）< x（2）<……< x（m）< n）为键盘输入，事前并不知道，因此不能在设计时简单地确定初始值f（x(1)），f（x(2)），……；

事实上，可以把初始条件放在分级递推中求取，应用多关系分级递推算法完成递推；

2）、确定f（t）的递推关系；

• 当t< x（1）时，f（t）=0，f（x(1)）=1 （初始条件）；

• 当x（1）< t<=x（2）时，第1级递推：f（t）=f（t-x(1)）；

• 当x（2）< t<=x（3）时，第2级递推：f（t）=f（t-x(1)）+f（t-x(2)）；

• · · · · · ·

一般的，当x（k）< t<=x（k-1），k=1，2，……，m-1，有第k级递推：

• f（t）=f（t-x(1)）+f（t-x(2)）+……f（t-x(k)）；

当x（m）< t时，第m级递推：

• f（t）=f（t-x(1)）+f（t-x(2)）+……+f（t-x(m)）；

当t=x（2），或t=x（3），……，或t=x（m）时，按上面递推求f（t）外，还要加上1，道理很简单，因为此时t本身即为一个一步到位的爬法，为此，应在以上递推基础上添加：

• f（t）=f（t）+1 （t=x（2），x（3），……，x（m））；

所求的目标为：

• f（n）=f（n-x(1)）+f（n-x(2)）+……+f（n-x(m)）；

这一递推式是我们设计的依据；

3）、设x（m+1）的技巧；

在递推设计中可以把台阶数n记为数组元素x（m+1），这样处理是巧妙地，可以按相同的递推规律递推计算，简化算法设计，最后一项f（x(m+1)）即为所求f（n）；

最后输出f（n）即f（x(m+1)）时必须把额外所添加的1减去；

（2）、分级递推程序设计；

#include<stdio.h>
int main()
{
   int i,j,k,m,n,t,x[10];
   long f[200];
   printf("请输入总台阶数:");
   scanf("%d",&n);             /*输入台阶数*/
   printf("一次有几种跳法:");
   scanf("%d",&m);
   printf("请从小到大输入一步跳几级 \n");
   for(i=1;i<=m;i++)           /*输入m个一步跳级数*/
   {
      printf("第%d个一步可跳级数:",i);
      scanf("%d",&x[i]);
   }
   for(i=1;i<=x[1]-1;i++)
      f[i]=0;                  /*确定初始条件*/
   x[m+1]=n;
   f[x[1]]=1;
   for(k=1;k<=m;k++)
      for(t=x[k];t<=x[k+1];t++)
      {
         f[t]=0;
         for(j=1;j<=k;j++)     /*按公式累加实现分级*/
            f[t]=f[t]+f[t-x[j]];
         if(t==x[k+1])         /*t=x(k+1)时增1*/
            f[t]=f[t]+1;
      }
   printf("共有不同的跳法种数为:");
   printf("%d(%d",n,x[1]);     /*按指定格式输出结果*/
   for(i=2;i<=m;i++)
      printf(",%d",x[i]);
   printf(")=%ld \n",f[n]-1);
}

(3)、程序运行示例及其注意事项；

请输入总台阶数:40
一次有几种跳法:3
请从小到大输入一步跳几级
第1个一步可跳级数:1
第2个一步可跳级数:3
第3个一步可跳级数:5
共有不同的跳法种数为:40(1,3,5)=35543051

注意：以上分级递推算法是新颖的，其时间复杂度为O（nm），空间复杂度为O（n）；