DFT基础

最新推荐文章于 2025-04-10 22:27:11 发布

dongdaxiaobai

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本文详细介绍了离散傅立叶变换（DFT）的基础知识，包括傅立叶变换与离散傅立叶变换的区别，以及DFT在处理离散周期信号时的物理意义和数学推导。通过DFT，可以将实际的离散周期信号转换为其频谱，揭示了奈奎斯特采样原理的重要性，并讨论了DFT在实际应用中的价值相对于傅立叶变换。

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离散傅立叶变换是个什么东西？一句话：就是离散周期信号的傅立叶级数展开。

我用的教材（东南管致中编信号系统第五版）里面绕了一个大圈，从拉普拉斯变换跑到z变换，再从z变换推到离散傅立叶变换。这实际上反而把简单问题复杂化了。

傅立叶变换里面有一句很坑爹的“口诀”，叫周期对离散，离散对周期。周期离散信号的频谱是离散周期的。

乍一看这个没什么问题。问题就出在“离散”这两个字上。傅立叶变换和离散傅立叶变换的区别也就在这两个字上。

傅立叶变换其实是一个“瘸腿”的玩意。一般是从傅立叶级数开始导出傅立叶变换的。傅立叶级数很漂亮，物理意义相当清晰。它表示一个周期信号可以用一族正交完备的正弦波通过线性组合得到。这些正弦波的幅度大小如下计算：

$C_n=\frac{1}T_s \cdot \int_{0}^{T_s} f\left ( t \right )e^{-j\omega t}dt$

傅立叶级数建立了时域和频域之间一一对应的关系。时间函数的傅立叶展开不是抽象的，而是实实在在的。因为知道了傅立叶级数，就可以还原出原始波形。

$f\left ( t \right )=\sum C_n\cdot e^{jn\omega t}$

注意对于上面两个式子里， $\omega$ 都有确定的取值，即所谓的基频 $\omega_0 =\frac{2\pi }{T_s}$

对于周期函数，傅立叶级数展开有明晰的物理意义。这是因为周期信号的特征是：周期。这就意味着信号的能量是无限的。而合成这个信号用的无穷多个正弦波，其能量也是无限的。只是高次谐波占据的能量比例很小，所以用有限的几个谐波就能得到很好的工程近似。

对于一般的连续函数。如果不视为时域有限而进行周期延宕的话，就把它视为周期无穷大去处理。但这样一来造成一个要命的问题：因为 $C_n$ 的表达式分母上是除以周期的，所以一旦视为无穷大，对有限能量信号，就带来了 $C_n=0$ 的问题。所以傅立叶变换里面把 $T_s$ 又乘了回去。

这个乘回去的操作其实一样要命：对于有限能量信号，事情好办了；对于无限能量信号，比如 $f\left ( t \right )=sin\left ( \omega t \right ), f\left ( t \right )=t$ ,这样又玩不下去了。因为积分后不去除以 $T_s$ , $C_n$ 变成了无穷大。

当然我们不允许这种事情出现。所以有了Dirac（ $\delta$ ）函数和Laplace变换。Laplace变换是用一个随时间衰减的 $e^{-\alpha t}$ 的信号把那些随时间增长的信号给“拉回来”。而 $\delta （x）$ 函数是用来解决 $sin(\omega t)$ 这类“等幅振荡”的信号。