9、选择公理的推论：集合论中的关键结论与应用

选择公理的推论：集合论中的关键结论与应用

1. 可数性相关定理

首先，我们来探讨关于可数性的一些重要定理。定理表明，每个无限集都有一个可数的无限子集。对于任意基数 $\kappa$，要么 $\kappa <_c \aleph_0$，要么 $\aleph_0 \leq_c \kappa$。这一结论的证明依赖于依赖选择公理（DC）。若集合 $A$ 是无限的，显然存在一个序列 $f: \mathbb{N} \to A$，使得序列中的元素互不相同，其像 $f[\mathbb{N}]$ 就是 $A$ 的一个可数无限子集。

值得注意的是，虽然一般的基数可比性需要完整的选择公理，但与 $\aleph_0$ 的特殊可比性是 ZDC 中的一个定理。实际上，也可以使用可数选择公理（ACN）来证明该定理，不过证明过程会更复杂。

该定理还解决了无限集和戴德金无限集之间的关系。一个集合 $A$ 是有限的，当且仅当它是戴德金有限的，即不存在从 $A$ 到其真子集的单射。有限集根据鸽巢原理是戴德金有限的；若 $A$ 是无限的，则可以构造一个单射来证明它是戴德金无限的。

2. 树的相关概念与定理

接下来，我们研究树的相关内容。树是集合 $E$ 上的字符串集合 $T \subseteq E^*$，它在初始段关系下是封闭的。树有许多相关术语，如节点、根、父节点、子节点、终端节点等。对于每个节点 $u$，可以定义与之可比的节点构成的子树 $T_u$。

树的无限分支是其无限序列，我们将它们收集在树的主体 $[T]$ 中。有限树的主体为空，也容易构造出主体为空的无限树。

若树 $T$ 中每个节点的子节点数量最多为有限个，则称 $T$