14、公理化集合论模型与集合宇宙的深入探究

公理化集合论模型与集合宇宙的深入探究

1. 集合宇宙研究概述

在集合论的研究中，公理化集合论模型的深入探讨往往依赖于数学逻辑方法。这里我们聚焦于集合宇宙，它是对Zermelo和ZFDC - 宇宙的推广，属于特殊的模型，可运用标准数学技术进行研究。

首先我们会证明，第11章提到的Zermelo宇宙是ZDC的模型，ZFDC - 宇宙是ZFDC的模型。这不仅有助于我们更好地理解这些宇宙，还能为相应理论提供一些简单的一致性和独立性结果。在后续内容里，我们将构建一些具有不同特性的新集合宇宙，其中包括Aczel的反基础宇宙，它包含了丰富的非良基集合。虽然我们也会从这些模型中获取一些一致性结果，但我们的主要目的是探索和理解几种自然、直观的集合概念，并将它们与标准的纯、良基集合概念进行对比。

2. 最小Zermelo宇宙Z的特性

最小的Zermelo宇宙Z看似包含了经典数学中所有感兴趣的对象，但实际上存在一些令人惊讶的特性。例如，所有纯、良基、遗传有限集构成的集合$V^-$并非Z的成员，而且不存在集合$A \in Z$，使得$\varnothing \in A$且$(\forall X)[X \in A \Rightarrow P(X) \in A]$。

为了证明这个结论，对于每个$x \in Z$，我们定义$level(x)$为使得$x \in Z_n$的最小$n$。可以发现，$N_0$的成员级别为0，而当$level(x) > 0$时，$level({x}) = level(x) + 1$。通过递归定义集合$A_0 = {\varnothing, {\varnothing}}$，$A_{n + 1} = {A_n}$，可以得出每个$A_n \