15、集合论相关问题的解答与证明

集合论相关问题的解答与证明

1. 集合基数与映射关系

1.1 集合基数的比较

• 对于集合 (A)，恒等函数 (x \mapsto x) 表明 (A \leq_c A)。若存在单射 (f : A \to B) 和 (g : B \to C)，则它们的复合函数 (h(x) = g(f(x))) 是从 (A) 到 (C) 的单射，所以 (A \leq_c C)。
• 若 (A \leq_c \mathbb{N}) 且 (B \leq_c A)，则 (B \leq_c \mathbb{N})。

1.2 可数性证明

• 若 (A) 为空集，则 (B = f[\varnothing] = \varnothing)。若 (A) 非空，存在满射 (\varphi : \mathbb{N} \to A)，那么复合函数 (h(i) = f(\varphi(i))) 是从 (\mathbb{N}) 到 (B) 的满射，所以 (B) 是可数的。

1.3 双射与幂集的映射

• 设 (f : A \to B) 是双射，定义幂集之间的映射 (\varphi(X) = f[X])（(X \subseteq A)）。
  • 单射证明 ：若 (x \in X \setminus Y)，则 (f(x) \in f[X]) 但 (f(x) \notin f[Y])。因为若 (f(x) = f(y))（(y \in Y)），由于 (f) 是单射，(y = x)，这与 (x \notin Y) 矛盾。所以 (X