28、集合论中的争议公理：选择公理与确定性公理解析

集合论中的争议公理：选择公理与确定性公理解析

在集合论的发展历程中，存在着一些颇具争议的公理，它们在数学界引发了广泛的讨论和研究。这些公理不仅影响着集合论本身的发展，还对其他数学领域产生了深远的影响。本文将深入探讨其中两个重要的公理：选择公理和确定性公理。

1. 大基数与拉弗表

在集合论的研究中，大基数的存在对集合的性质有着重要的影响。1961 年，D. Scott 证明了可测基数的存在意味着 (V \neq L)。随后，Solovay 进一步指出，在可测基数的假设下，某些实数子集具有更多理想的性质，比如更多的实数集具有完美子集性质和贝尔性质。这表明大基数可能有助于决定关于“小”集合的陈述。然而，目前普遍认为，仅靠大基数公理无法决定连续统假设以及其他通过力迫法证明为独立的命题。

拉弗表是研究有限左自分配系统的重要工具。Richard Laver 在研究 (V_{\lambda}) 到自身的初等嵌入时，证明了一个关于有限左自分配系统的定理。为了证明该定理，他使用了公理 I3，并且至今尚未找到不依赖该假设的证明。不过，也没有结果表明该定理一定需要大基数。

下面是一个具有四个元素的左自分配系统的乘法表（表 1）：
| * | 1 | 2 | 3 | 4 |
| — | — | — | — | — |
| 1 | 2 | 4 | 2 | 4 |
| 2 | 3 | 4 | 3 | 4 |
| 3 | 4 | 4 | 4 | 4 |
| 4 | 1 | 2 | 3 | 4 |

观察该表的第一列，它定义了右乘 1 的运算，即 (x \to x * 1)，这是一个循环移位 (1 \to 2 \t