27、集合论中的大基数：概念、性质与应用

集合论中的大基数：概念、性质与应用

1. 大基数相关概念

1.1 Vopěnka 基数

Vopěnka 原理是由 Petr Vopěnka 提出的一个公理模式，它和替换模式一样，不能表述为单个公理，也未明确提及基数。为了将其与大基数假设进行比较，定义了 Vopěnka 基数。Vopěnka 基数是已研究过的最大基数之一（且未发现不一致性）。其历史颇为有趣，Vopěnka 发现新原理时，本想证明其不成立，为调侃大基数研究群体，将其作为大基数假设提出，后来却发现证明存在漏洞，尽管他对大基数理论持否定态度，但他的名字仍与这个大基数联系在一起。

1.2 基于初等嵌入定义的大基数

最强的大基数公理通过初等嵌入 (j : V_{\alpha} \to V_{\alpha}) 来定义。初等嵌入是一种一一映射，能保持所有真语句，即如果一个语句对某些元素为真，那么对它们的像也为真。平凡的初等嵌入是恒等映射，而存在一个不同于恒等映射的初等嵌入这一假设，是有史以来提出的最强公理之一，也比其他大基数公理更可能不一致。为了验证这类公理，需要系统地研究其推论，确保不会轻易得出矛盾，同时要使其符合我们的预期，让推论显得“自然”，也就是培养对它的“直觉”。

2. 初等嵌入的代数结构

2.1 幺半群结构

研究初等嵌入的一种自然方式是将它们视为一个代数结构的元素，其中运算为映射的复合。这种运算具有结合律，因此初等嵌入构成了一种常见的结构——幺半群。这种运算在许多情况下自然出现，并且人们对其有很好的理解。

2.2 左自分配系统

初等嵌入特有的另一种自然二元运算称为应用（appli