3、数字控制：时域响应稳定性、平面映射及信号处理解析

数字控制：时域响应稳定性、平面映射及信号处理解析

1. 时域响应稳定性

系统的稳定性与特征多项式的根密切相关。特征多项式 (p(z)) 是传递函数的分母，其根 (\lambda_i) 被称为系统的极点。如果输入 (u(k)) 不会趋于无穷大，当特征多项式的根满足 (|\lambda_i| < 1) 时，输出 (y(k)) 也不会趋于无穷大。也就是说，当且仅当极点 (\lambda_i) 位于单位圆内时，系统是稳定的。

通常，离散模型是对连续过程或信号的近似。我们可以通过连续传递函数 (G(s)) 的极点 (s_i) 来直观地了解系统的响应 (g(t))。为了在 (z) 平面上获得相同的直观理解，我们需要借助 (s) 平面到 (z) 平面的映射。

2. 连续与离散关系

(z = e^{sh}) 给出了拉普拉斯域和 (z) 域之间的关系。如果 (f(t)) 的拉普拉斯变换在 (s_1, s_2, \cdots) 处有极点，那么采样后的 (f(kh)) 的 (z) 变换在 (z_1 = e^{s_1h}, z_2 = e^{s_2h}, \cdots) 处有极点。这种从 (s) 平面到 (z) 平面的映射不是一一对应的，存在非唯一性。例如，(e^{(\sigma + j\omega)h}=e^{(\sigma + j(\omega \pm 2\pi N/h))h})（(N) 为整数），这意味着不同的 (s) 值可能映射到相同的 (z) 值。

3. (s) 平面到 (z) 平面的映射

3.1 不同类型的映射

• 半径为 (e^{\sigma h}) 的圆