10、连续时间信号与系统：传递函数、稳定性、频率响应及变换分析

连续时间信号与系统：传递函数、稳定性、频率响应及变换分析

1. 传递函数与稳定性

传递函数是分析线性时不变（LTI）系统的重要工具。通过对系统的数学表示（如微分方程或卷积积分）进行拉普拉斯变换，可得到传递函数的概念。传递函数 $H(s)$ 定义为输出信号的拉普拉斯变换 $Y(s)$ 与输入信号的拉普拉斯变换 $X(s)$ 的比值，即：
[H(s) = \frac{Y(s)}{X(s)}]
同时，它也对应系统冲激响应 $h(t)$ 的拉普拉斯变换，即 $H(s) = \mathcal{L}{h(t)}$。

在零初始条件下，使用传递函数求解系统通常更为简便，因为卷积积分在变换域中被乘法所取代：
[Y(s) = \mathcal{L}{h(t) * x(t)} = H(s)X(s)]
通过逆拉普拉斯变换可得到系统的零状态响应：
[y(t) = \mathcal{L}^{-1}{H(s)X(s)}]

例如，对于图 2.4 所示的电路，传递函数为：
[H(s) = \frac{1/RC}{s + 1/RC}]
若输入信号 $x(t) = u(t)$，其拉普拉斯变换 $X(s) = \frac{1}{s}$，则输出信号的拉普拉斯变换为：
[Y(s) = H(s)X(s) = \frac{1/RC}{(s + 1/RC)s} = \frac{1}{s} - \frac{1}{s + 1/RC}]
通过逆拉普拉斯变换可得：
[y(t) = u(t) - e^{-\frac{1}{RC}t}u(t)]

传递函数通常可表示为两个关于 $s$ 的多项式之比：
[H(s) =