1、黎曼流形上的样条插值与拟合：原理、挑战与应用

黎曼流形上的样条插值与拟合：原理、挑战与应用

1. 引言

在科学与技术领域，在黎曼流形上进行数据拟合和插值是一项具有挑战性的任务。最初，人们致力于开发在一般欧几里得空间中拟合数据的技术，其中贝塞尔曲线和德卡斯特里奥算法备受关注。贝塞尔样条插值因其简单性、灵活性和理论保证而成为研究的重点。随后，这些欧几里得空间中的技术被推广到各种黎曼流形上，这需要深入研究黎曼流形的几何性质。

2. 动机与应用

在机器学习、医学成像、计算机视觉、人类生物识别和纳米制造等多个领域，在非线性空间或流形上拟合平滑曲线具有重要意义。其主要目标包括估计缺失值、填补数据间隙或建模对象的动态行为。以下是一些具体的应用场景：
- 医学成像 ：数据通常代表流形上的解剖形状或结构。例如，在使用医学图像评估肿瘤生长或衰退时，形状分析算法有助于识别器官变化，推断疾病进展。
- 张量分析 ：在对称正定矩阵（SPD）集合中存在大量插值，如扩散张量成像（DTI），其中空间扫描由3D张量表示，插值DT - MRI数据对于推断纤维结构和了解特定疾病至关重要。
- 机器人运动规划 ：自机器人技术诞生以来，运动规划一直是一个关键问题，它在机器人救援和服务等领域有广泛应用，其目标是控制机器人从一个起点到下一个起点的平滑过渡。
- 计算机视觉中的立体匹配 ：从一系列图像中恢复结构和运动仍然是一个具有挑战性的问题，特别是在特殊正交群SO(n)、斯蒂费尔流形St(n, p)和格拉斯曼流形Gn,p(R)中的曲线拟合。
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