14、斯蒂费尔流形和格拉斯曼流形上的样条插值

斯蒂费尔流形和格拉斯曼流形上的样条插值

1. 格拉斯曼流形的几何性质

1.1 格拉斯曼流形的定义

实格拉斯曼流形 $\mathcal{M} = G_{n,p}$ 被定义为 $\mathbb{R}^n$ 中所有 $p$ 维 $\mathbb{R}$ - 线性子空间的集合。它是一个光滑且紧致的流形，维度为 $p(n - p)$。流形上的一个点 $\mathfrak{X} \in \mathcal{M}$ 是一个线性子空间，可以用一个满秩的 $n \times p$ 矩阵 $X$ 的张成（span）来数值表示，即：
$\mathcal{M} = {\mathfrak{X} = \text{span}(X), X \in \mathbb{R}^{n\times p}, \text{rank}(X) = p}$

1.2 格拉斯曼流形与斯蒂费尔流形的关系

矩阵代表 $X \in \mathfrak{X} \subset \mathcal{M}$ 是斯蒂费尔流形 $\text{St}(n, p)$ 上的一个点。具体来说，$\mathcal{M}$ 是 $\text{St}(n, p)$ 通过正交李群 $O(p)$ 的作用得到的商空间：
$\mathcal{M} = \text{St}(n, p)/O(p)$

1.3 格拉斯曼流形的切空间

给定 $X \in \mathcal{M}$，其切空间 $\mathcal{T}_X\mathcal{M}$ 定义为：
$\mathcal{T}_X\mathcal{M} = {S \in \mathbb{R}^{n\times p} | X^T S = 0}