21、概率密度函数流形上的样条插值

概率密度函数流形上的样条插值

1. 问题提出

在处理有限个递增的时间点 (t_0, t_2, \cdots, t_N \in \mathbb{R}) 以及对应的概率密度函数（PDFs） (p_0, p_2, \cdots, p_N \in \mathcal{P}) 时，我们的目标是找到一个 (C^2) 样条 (\gamma)，它取值于 (\mathcal{P})，并满足以下问题：
(\gamma : [t_0, t_N] \to \mathcal{P}, \gamma (t_i) = p_i)。

如果 (p_i) 是具有 (||.||_1) 或 (||.||_2) 范数的向量，那么 (\gamma) 可以通过参数化或非参数化的方法来求解。然而，在当前情况下，由于 (\mathcal{P}) 的结构，选择合适的范数并非易事，这使得以往的解决方案难以直接推广。

为了解决这个问题，我们将 (\gamma) 定义为取值于 (\mathcal{P}) 的样条，确保它在时间点 (t_i) 处通过 (p_i)，同时满足可微性约束。

虽然已有许多统计模型用于学习和预测概率密度函数，但非参数拟合仍然是一个具有挑战性的问题，特别是在计算效率方面。此外，由于概率密度函数具有无限维的特性，代表着一个黎曼流形结构，将传统的回归方法从有限向量扩展到函数实例并非易事。这促使人们开发了各种用于比较概率密度函数的框架，采用了如 Frobenius、Fisher–Rao、log - Euclidean、Jensen–Shannon 和 Wasserstein 等度量。

更具体地说，设 (p_0, \cdots, p_N) 是与观察时间 (t_0, \cdots, t