20、概率测度流形上的样条插值与实验

概率测度流形上的样条插值与实验

1. 概率测度流形上的基本公式与条件

在概率测度流形 (P_+(I)) 上，有如下重要公式：
- 公式 (((b^{(1)})^i)^- = (\varphi^{(i)})^i + \lambda_i(((b^{(1)})^i)^+ - (\varphi^{(i)})^i)) ，在欧几里得情形下，考虑到 (\log_p(b) = b - p) ，该公式在 (P_+(I)) 上的推广为 ((\hat{\eta}^{(i)})^+ = \text{Exp} {\mu^{(i)}}(\lambda_i\text{Exp} {\mu^{(i)}}^{-1}((\hat{\eta}^i)^-))) ，此式断言了 (P_+(I)) 上的 (C^1) 可微性条件。
- 由于曲线 (\beta_i) 在 (T_{\mu^{(i)}}P_+(I)) 上的 (C^2) 可微性条件，插值点 ((\varphi^{(N)})^i) 会发生修改，进而调整点 (\mu^{(N)}) ，得到 (P_+(I)) 上的新的 (N + 1) 个插值点 (\tilde{\mu}^{(k)} = \text{Exp} {\mu^{(i)}}((\tilde{\varphi}^{(k)})^i)) ，其中 (k = 0, \cdots, N) ； (i = 1, \cdots, N - 1) ，且 (\tilde{\varphi}^i = [(\tilde{\varphi}^{(0)})^i, \cdots, (\tilde{\varphi}^{(N)})^i]^T) 是一个 (n(N + 1) \times n) 的矩阵，包含了每个切空间 (T {\mu^{(i)