10、球面上的样条插值与特殊正交群上的曲线拟合

球面上的样条插值与特殊正交群上的曲线拟合

1. 球面上的C²插值球面贝塞尔样条构建

在球面上进行样条插值时，存在一个与欧几里得情形类似的情况。在点 $\tilde{x} {N - 1} \in S^n$ 处的 $C^2$ 可微性条件，即：
$\frac{D}{dt}\big| {t = 1} \dot{\gamma} 3(t; \tilde{x} {N - 2}, z_{N - 2}^+, z_{N - 1}^-, \tilde{x} {N - 1}) = \frac{D}{dt}\big| {t = 0} \dot{\gamma} 2(t; \tilde{x} {N - 1}, z_{N - 1}^+, \tilde{x}_N)$
这个条件会修改插值点 $\tilde{x}_N$。

算法7：在 $S^n$ 上构建 $C^2$ 插值球面贝塞尔样条

• 输入 ：$N \geq 3$，$\tilde{X} = [\tilde{x}_0, …, \tilde{x}_N]^T$ 是一个大小为 $(n + 1)(N + 1) \times (n + 1)$ 的矩阵，包含 $S^n$ 上的 $(N + 1)$ 个插值点。
• 输出 ：$Z$。

具体步骤如下：
1. 使用算法6计算 $cZ = [c_{z^- 1}, …, c {z^- {N - 1}}]^T$。
2. 设置 $z^-_1 =