24、形状空间中的样条插值：理论与实验

形状空间中的样条插值：理论与实验

在形状分析领域，对形状空间的研究以及如何在其中进行插值是一个重要的课题。本文将深入探讨形状空间的几何特性、插值问题以及相关实验结果。

1. 形状空间的几何结构

在研究形状时，我们关注三维空间中连续曲线的q函数表示。这种表示方式对于分析曲线形状非常有效，并且能将弹性度量简化为简单的L2度量，使得单位长度曲线的空间成为单位希尔伯特球面。

1.1 曲线表示与形状空间

设 $\eta : I = [0, 1] \to \mathbb{R}^3$ 是 $L^2(I, \mathbb{R}^3)$ 中的参数化曲线。为了研究其形状，我们使用q函数 $q : I \to \mathbb{R}^3$ 来表示它，定义如下：
[q(s) = \frac{\dot{\eta}(s)}{\sqrt{||\dot{\eta}(s)||}} \in \mathbb{R}^3]
这里，$||.||$ 表示 $\mathbb{R}^3$ 中的欧几里得2 - 范数。q函数是曲线切线向量经瞬时速度平方根归一化后的结果，是曲线几何特性的局部描述符。原始曲线 $\eta$ 可以通过以下积分进行重构：
[\eta(s) = \int_{0}^{s} ||q(t)|| q(t) dt]
通过对q函数进行幅度归一化，我们得到尺度不变的形状表示，它成为希尔伯特流形 $L^2(I, \mathbb{R}^3)$ 中单位球面的一个元素，我们将这个球面记为 $\mathcal{M}$。$\mathcal{M}$ 是一个无限维的希尔伯特流形，代表了所有平移和尺度不变的开放弹性曲线的形状空间，具体定义为：
[\mathcal{M}