26、黎曼流形上的样条插值与基础几何知识

黎曼流形上的样条插值与基础几何知识

在数学领域，黎曼流形上的样条插值以及相关的基础几何知识是非常重要的研究内容。下面我们将详细探讨这些内容。

其他黎曼流形上的样条插值

在某些情况下，我们会遇到这样的公式：
[Z_{i + 1}^- = \text{Exp} {Z_i^+}\left(\left(d\phi {\widetilde{P} i}\right) {Z_i^-}\left(\dot{\alpha}(1, Z_{i - 1}^+, Z_i^-)\right) - 2\dot{\alpha}(0, Z_i^-, \widetilde{P}_i)\right)]
其中 (i = 2, \cdots, N - 2)。该公式的证明思路与定理 3.3 的证明类似。

双曲空间上的样条插值

双曲空间具有恒定曲率 (k < 0) 的特点。为避免一些简单的情况，我们通常假设 (n \geq 2)。常见的双曲空间有庞加莱球和双曲面超曲面。

双曲空间 (H^n) 定义为：
[H^n = {p \in \mathbb{R}^{n + 1} | \langle p, p \rangle = -1, p^1 > 0}]
这里的 (\langle \cdot, \cdot \rangle) 是洛伦兹内积，对于任意的 (p) 和 (q)，有：
[\langle p, q \rangle = -p^1q^1 + \sum_{i = 2}^{n + 1}p^iq^i]

对于 (p \in H^n)，其切空间 (T_p(H^n)) 为：