21、几何中的三角规则与定理探究

几何中的三角规则与定理探究

1. 基础几何问题与练习

在几何领域，有许多有趣的问题等待我们去探索。例如，有一个固定角度(\omega)绕着圆(\kappa(O))内部的给定点(K)旋转，我们需要找出这个角度的位置，使得它的两边所截得的圆的弦(AB)分别具有最小和最大可能的长度。提示是要证明三角形(AKB)外接圆的直径(KE)小于与(OK)对称且在(K)点处角度为(\omega)的三角形(K\Gamma\Delta)外接圆的直径(KZ)。

还有从三角形(AB\Gamma)的顶点作平行于给定直线(\varepsilon)的线，它们与对边相交于点(A’)、(B’)、(\Gamma’)，要证明(A’B’\Gamma’)的面积是(AB\Gamma)面积的两倍。另外，要证明一个矩形(AB\Gamma\Delta)是正方形的充要条件是在它里面可以内接一个与(AB\Gamma\Delta)相似的矩形(A’B’\Gamma’\Delta’)。以及证明任意凸四边形内角平分线所构成的四边形是圆内接四边形，外角平分线所构成的四边形也有同样的性质。

2. 三角形的正弦和余弦规则

爱因斯坦曾说：“想象力比知识更重要。知识是有限的，而想象力环绕着整个世界。”在三角形的研究中，毕达哥拉斯定理产生了无数关联形状中长度、面积和角度的公式。这里我们将看到一些简单的此类公式，涉及到三角函数(\sin(\varphi))和(\cos(\varphi))。

2.1 三角函数的扩展定义

到目前为止，三角函数仅针对锐角（出现在直角三角形中的角度）进行了定义，现在我们需要将其扩展到(0^{\circ}\leq\varphi\leq180^{\circ})的角度范