7、几何中的对称、比例与三角形问题探究

几何中的对称、比例与三角形问题探究

1. 对称相关问题

在几何图形的研究中，对称是一个重要的概念。首先来看三角形的对称性质。一个三角形是等腰三角形，当且仅当它有一条对称轴。这一性质可以通过结合之前的练习和命题 1.13 来证明。

另外，如果点 Y、Y′ 分别是点 X、X′ 关于某轴或某点的对称点，那么直线 XX′ 上任意一点 Z 的对称点 Ω 必定属于直线 YY′。以轴向对称为例，设 Y、Y′ 是 X、X′ 关于轴 AB 的对称点（如图 1.84），Ω 是直线 XX′ 上点 Z 关于 AB 的对称点。根据推论 1.39，角 ∠XZΞ 和 ∠ΞΩY 相等，同理角 ∠ΞZX′ 和 ∠ΞΩY′ 相等。由于 ∠XZΞ 和 ∠ΞZX′ 互补，所以 ∠YΩΞ 和 ∠ΞΩY′ 也互补，从而 Y、Ω 和 Y′ 三点共线。点对称的情况证明方法类似。

对于由两条直线 α 和 β 组成的图形，它总是有一个对称中心和对称轴。当两条直线相交时，只有一个对称中心；当两条直线重合或者平行时，会有多于两条的对称轴或对称点。

点/轴向对称是等距变换的一种特殊情况，而等距变换又是一种特殊的变换。

2. 比例与调和四点组

在直线 ε 上，一个点 X 到另外两个固定点 A 和 B 的距离之比，能够确定点 X 的位置。对于直线 ε 上的两个固定点 A 和 B，以及给定的比例 t ≠ 1，在同一条直线上恰好有两个点 X、X′，它们到 A、B 的距离之比为 t。由此引出了调和四点组 (A, B, X, X′) 的定义，这是一个在几何中有诸多用途的概念。

设 x = |AX|，则比例 t = |XA|/|XB| 的大小与点 X 的位置有关。当