14、圆与四边形的几何特性及相关问题探究

圆与四边形的几何特性及相关问题探究

1. 可内接四边形的相关性质

1.1 可内接四边形的定义

可内接于圆的四边形，即存在一个圆通过其四个顶点的四边形，也被称为循环四边形。例如，若四边形的四个顶点都在某一圆的圆周上，那么这个四边形就是可内接四边形。

1.2 可内接四边形的重要定理

• 定理 2.26 ：在每个凸可内接四边形中，其对角互补。反之，若一个凸四边形的两个对角互补，则该四边形可内接于圆。
  • 证明 ：以可内接四边形中两个对角(\angle A)和(\angle \Gamma)为例，设它们的度数分别为(\alpha)和(\gamma)，它们看对角线(B\Delta)的中心角满足(2\alpha + 2\gamma = 360^{\circ})。反之，若(\alpha)和(\gamma)互补，根据定理 2.24，(A)属于看线段(B\Delta)成角度(\alpha)的点的几何轨迹（即一段圆弧），(\Gamma)则属于该圆弧关于同一圆的互补弧。
• 推论 2.23 ：每个凸可内接四边形的每个内角等于其相对的外角。反之，若一个凸四边形的一个内角等于其相对的外角，则该四边形可内接于圆。
  • 证明 ：由于四边形的每个内角与其相对的外角互补，而可内接四边形对角互补，所以该推论是前一命题的直接结果。
• 定理 2.27