22、三角形中的反平行线、类似中线及相关几何问题探究

三角形中的反平行线、类似中线及相关几何问题探究

1. 反平行线与类似中线的定义及性质

在三角形 (ABΓ) 中，反平行线有着独特的定义。对于边 (BΓ) 的反平行线 (XY)，是由经过顶点 (B) 和 (Γ) 的圆 (κ) 所定义的。这些圆与三角形的其他边第二次相交于点 (X) 和 (Y)。由于四边形 (BΓYX) 内接于圆，所以它们的角 (YXB) 与 (bΓ) 互补或相等，这就使得所有这些反平行线 (XY) 相互平行。

有两个特殊的圆定义了两条特殊的反平行线：
- 第一个是外接圆 (λ) 以及在点 (A) 处的切线 (δ)。此时可将其视为反平行线，点 (X) 和 (Y) 与顶点 (A) 重合，因为弦 (AB) 与切线 (δ) 在点 (A) 所形成的角等于对应的内接角 (bΓ)。
- 第二个特殊圆是以 (BΓ) 为直径的圆，其对应的反平行线经过高的垂足 (E) 和 (Z)。

类似中线也有着重要的性质。从顶点 (A) 出发的类似中线是包含边 (BΓ) 所有反平行线中点 (M) 的直线。相关定理表明：
- 边 (BΓ) 反平行线的中点 (M) 位于一条经过顶点 (A) 的直线上。这条直线相对于从 (A) 出发的角平分线，与从 (A) 出发的中线对称。
- 该直线上的点 (M) 到边 ({AB, AΓ}) 的距离之比 (\frac{|MMB|}{|MMΓ|} = σ) 是固定的，且等于这两条边的长度之比 (σ = \frac{|AB|}{|AΓ|})。

下面用表格总结反平行线和类似中线的性质：
|类别|性质|
| ---- | ---- |
|反平行线|由过 (B)、(Γ) 的圆与其他边相交定义