20、几何中的相似多边形与相关定理

几何中的相似多边形与相关定理

在几何领域，相似性是一个重要的概念，它不仅存在于三角形中，还能推广到更广泛的多边形。下面我们将深入探讨相似多边形的定义、性质以及相关定理和练习。

1. 相似多边形的定义

两个边数（以及角数）相同的多边形，当满足以下两个条件时，被称为相似多边形：
- 对应角相等。
- 对应边成比例。

例如，若两个多边形可以用相同的字母表示，如 (ABΓ ∆…) 和 (A′B′Γ ′∆′…)，那么对应顶点处的角相等，且相邻边成比例，即 (\frac{|AB|}{|A′B′|}=\frac{|BΓ |}{|B′Γ ′|}=\frac{|Γ ∆|}{|Γ ′∆′|}=… = κ)，这里的常数 (κ) 被称为相似比，参与比例的两条边被称为同源边。

需要注意的是，在三角形中，角相等意味着边成比例，反之亦然。但对于更一般的多边形，甚至是四边形，这种关系并不总是成立。比如，正方形和非正方形的矩形，所有角都相等（都是直角），但边不成比例；正方形和边长相同的非正方形菱形，边成比例（实际上相等，(κ = 1)），但角并不对应相等。

然而，有一些特殊情况的多边形是相似的：
- 所有有两个角分别相等的三角形相似。
- 所有有一个锐角分别相等的直角三角形相似。
- 所有正方形相似。
- 所有有一个角分别相等的菱形相似。

2. 相似多边形的相关练习

以下是一些关于相似多边形的练习，通过这些练习可以更好地理解相似多边形的性质。

练习 3.101：证明两个矩形相似的充要条件是它们的正交边比例相同。

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