17、几何中的毕达哥拉斯与帕普斯定理及相似直角三角形

几何中的毕达哥拉斯与帕普斯定理及相似直角三角形

1. 毕达哥拉斯定理及其相关内容

毕达哥拉斯定理（约公元前 570 - 475 年）在几何学中占据着极其重要的地位，从不同时期众多的证明数量就可见一斑。曾有人收集了多达 370 种该定理的证明方法，其中被认为最简单的第一种证明归功于勒让德。而且，毕达哥拉斯定理被证明与平行公理等价，它是欧几里得几何所有公式的基础。

• 定理内容 ：在每个直角三角形中，斜边的平方等于其两条直角边的平方和。
  • 证明过程 ：设斜边长度为 (c = |AB|)，两条直角边长度分别为 (b = |AΓ| \leq a = |BΓ|)。由于两个锐角 (α = \angle ΓAB) 和 (β = \angle BAΓ) 互补，可将三角形放置在以 (AB) 为边的正方形的四条边上，这样会在中心形成一个边长为 (a - b) 的正方形。大正方形的面积可表示为各部分面积之和，即 (c^2 = ε(AB∆Θ) = 4ε(ABΓ) + ε(ΓEZH))。又因为 (ε(ABΓ) = \frac{1}{2}ab)，(ε(ΓEZH) = (a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab)，代入面积等式可得 (c^2 = a^2 + b^2)。
• 逆定理 ：如果一个三角形的三条边长度 (a)、(b) 和 (c) 满足方程 (a^2 + b^2 = c^2)，那么这个三角形是直角三角形，斜边长度为 (c)，直角边长度分别为 (a) 和 (b)。