34、几何中的比率与定理探索

几何中的比率与定理探索

1. 莫利定理

1899 年，著名数学家弗兰克·莫利（Frank Morley）提出了一个问题，该问题迅速成为欧几里得几何中最受欢迎的主题之一。这个问题的第一个公开发表的解决方案是在问题提出十年后出现的，从那时起，各种证明的目录不断增加，不同水平的数学家都有贡献。这些证明可以分为四类：三角证明、纯几何证明、使用复数的证明以及阿兰·孔涅（Alain Connes）的代数证明。

1.1 引理

从三角形 (ABΓ) 的内心 (I) 出发，在 (IA) 的两侧分别画两条与 (IA) 成 (30^{\circ}) 角的直线，它们与三角形的其他边相交于点 (\Delta) 和 (E)。则三角形 (I\Delta E) 是等边三角形，并且 (\Delta E) 与 (AI) 垂直。

证明：因为内心 (I) 到三角形各边的距离相等，所以 (I\Delta) 和 (IE) 相等，因此三角形 (I\Delta E) 是等腰三角形，且 (IA) 是它的角平分线。

1.2 莫利定理

三角形各角的连续三等分线相交于形成等边三角形的点。

证明：三等分线是将三角形的角分成三个相等部分的线。证明依赖于特定图形，从底角为 (3\beta) 和 (3\gamma) 的三角形 (A’‘BΓ) 开始，定义底角为 (2\beta) 和 (2\gamma) 的三角形 (ABΓ)，并使用前面的引理重建三角形 (A’BΓ = A’‘BΓ)。通过反射和角度计算，可以得出相关结论，如四边形 (Z\Delta EH) 是等腰梯形，其外接圆的性质表明 (A’\Delta) 和 (A’E) 是 (\angle BA’Γ) 的三