16、平面几何中的多边形面积与图形构造

平面几何中的多边形面积与图形构造

1. 多边形面积的基本性质

在平面欧几里得几何中，继线段长度和角度测量之后，第三个重要的测量量是多边形的面积。对于凸多边形$\Pi$，其面积$\varepsilon(\Pi)$是一个正数，并且满足以下性质：
- 性质 3.1 ：两个全等的多边形面积相等。
- 性质 3.2 ：一个由有限个不重叠的多边形$\Pi’$，$\Pi’‘$，… 组成的多边形$\Pi$，其面积等于这些多边形面积之和，即$\varepsilon(\Pi) = \varepsilon(\Pi’) + \varepsilon(\Pi’‘) + \cdots$。
- 性质 3.3 ：若一个多边形$\Pi$包含在另一个多边形$\Pi’$内，则$\varepsilon(\Pi) < \varepsilon(\Pi’)$。
- 性质 3.4 ：单位正方形（边长为单位长度的正方形）的面积为 1。

这些性质决定了面积的形式，对于矩形，可得出面积等于其边长之积的表达式。同时，长度和面积的测量有相似之处，它们都是测量机制的特殊情况，在不同几何场景（如立体几何中的多面体体积、球面多边形面积）中，测量机制的数学结构是相同的。

以下是一些基于这些性质的练习题：
- 练习 3.1 ：证明平行四边形的一条对角线将其分成两个面积相等的三角形，更一般地，过平行四边形中心的直线将其分成两个面积相等的部分。提示是利用对角线所分的两个三角形全等，所以面积相等。
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