4、相似多边形的点包含问题解析

相似多边形的点包含问题解析

1. 基本定义与符号说明

• 坐标轴平行的直角三角形 ：两条边与坐标轴平行的直角三角形。
• 点的坐标表示 ：平面上的点 $p$ 用坐标 $(p_x, p_y)$ 表示。
• 投影 ：对象 $O$ 的 $x$ 投影（或 $y$ 投影）指几何对象 $O$ 在 $x$ 轴（或 $y$ 轴）上的投影。
• 点的支配关系 ：对于平面上的任意两点 $p$ 和 $q$，若 $q_x \geq p_x$ 且 $q_y \geq p_y$，并且至少有一个不等式严格成立，则称点 $q$ 支配点 $p$。

2. 等腰直角三角形的点包含问题

2.1 静态最优算法

• 算法思路 ：
  1. 首先对给定的等腰直角三角形集合 $S$ 按照特定顺序 $\preceq$ 进行排序。这里定义若三角形 $T_i$ 的斜边位于通过三角形 $T_j$ 斜边的直线下方或与其重合，则 $T_i \preceq T_j$。
  2. 构建一个基于三角形 $x$ 投影的线段树 $T$，并将每个三角形存储在对应 $O(\log n)$ 个节点的规范集合中，使得每个节点 $v$ 的规范集合 $S(v)$ 中的三角形也按 $\preceq$ 排序。
  3. 对于每个节点 $v$，将修剪后的三角形存储在按 $\preceq$ 排序的线性列表