23、几何中的圆幂、黄金分割与正多边形构造

几何中的圆幂、黄金分割与正多边形构造

1. 几何问题概述

首先介绍一些有趣的几何问题：
- 球的轨迹问题 ：在角 ∠XOY 内部有两点 A、B，要找出从 A 出发，依次在 OX、OY 边反射，最后再在 OX 边反射并经过 B 的球的轨迹（折线）。提示可利用相关问题的方法。
- 圆的构造与性质问题 ：
- 以三角形 ABΓ 的中线 AA′、BB′、ΓΓ′ 为直径构造圆 α、β、γ，证明这些圆两两相交的点 A1、A2、B1、B2、Γ1、Γ2 位于三角形的高上。
- 若 G 是三角形 ABΓ 的重心，X 是平面上任意一点，证明 |XA|² + |XB|² + |XC|² = 1/3(|AB|² + |BΓ|² + |ΓA|²) + 3|XG|²。
- 非凸等边五边形问题 ：对于非凸等边五边形 π = ABΓ∆E，边长为 ρ，证明：
- 其形状（直至等距变换）由参数 δ、ρ、ω 确定。
- 对于固定的 δ，存在最大的 ρ = ρ₀，使得 π 不自交。
- 对于这个 ρ₀，五边形 π₀ 的顶点 A 对于所有的 ω 值都位于 Γ∆ 上。

2. 圆幂的概念与性质

圆幂是一个重要且应用广泛的量，它依赖于一个圆和一个点。以下是关于圆幂的详细内容：
- 定理 4.1 ：给定圆 κ 和点 X，若过 X 的直线与圆交于 A、B 两点，则乘积 |XA||XB| 与直线的方向无关，仅取决于点 X 相对于圆的位置。
- 证明