19、平面几何基础：三角形、多边形与圆的深度解析

平面几何基础：三角形、多边形与圆的深度解析

1. 三角形的基本原理

1.1 全等三角形

全等三角形是指大小和形状完全相同的两个三角形。当一个三角形放在另一个三角形上面时，它们能够完全重合，用符号“≡”表示全等。全等三角形的对应部分相等，例如：若△ABC ≡ △DEF，则∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，AB = DE，AC = DF，BC = EF。

1.2 相似三角形

相似三角形的对应角相等，用符号“～”表示相似，且对应边成比例。判断两个三角形相似的方法有多种：
- 对应角相等：若△ABC和△DEF的对应角相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，则△ABC ～ △DEF。
- 边分别平行：若AB ∥ DE，AC ∥ DF，BC ∥ EF，则△ABC ～ △DEF。
- 边分别垂直：若HJ ⊥ LM，HK ⊥ LP，JK ⊥ MP，则△HJK ～ △LMP。
- 线平行于一边：在△ABC中，若DE ∥ BC，则△ADE ～ △ABC。
- 直角三角形中垂线：在Rt△HFG中，若FL ⊥ HG，则△FLH ～ △GLF ～ △GFH。

例如，已知△PRS ～ △TWY，求边PR和TY的长度。可通过建立比例关系求解：
- 对于边PR：
[
\begin{align }
\frac{WY}{RS}&=\frac{WT}{PR}\
\frac{11.25}{15.00}&=\frac{18.75}{PR}\
11.25PR&=15.00×18.75\
PR&a