43、标签约束外平面图与图对和图三元组的匹配可绘制性研究

标签约束外平面图与图对和图三元组的匹配可绘制性研究

1. 标签约束外平面图

标签约束外平面图是外平面图的一个子类。这类图具有在 $O(n \log n)$ 面积的网格上进行直线网格绘制的特性，并且可以在线性时间内找到这种绘制方式。

1.1 识别算法

识别标签约束外平面图可以在线性时间内完成。具体通过以下情况进行判断：
- 情况 1：节点 $u$ 不是根节点
- 子情况 1(a)：$u$ 的度数为 1 或 2 ：假设在 $u$ 的任何祖先 $x$ 处都未检测到交叉路径。若 $L_u(T_u)$ 是平面标签，则完成判断；否则，在 $u$ 处检测到交叉路径，此时需要为 $T_r$ 中 $u$ 的度数为 1 或 2 的任何后代 $x$ 计算 $L_x(T_x)$，并验证 $L_x(T_x)$ 是否为平面标签，这可以通过相关引理在线性时间内完成。
- 子情况 1(b)：$u$ 的度数为 3 ：设 $v$ 是 $r - u$ 路径上除 $u$ 之外的任何顶点，对于 $T_r$ 中 $u$ 的所有后代 $x$，$L_x(v)$ 的值相同。可以在 $O(l)$ 时间内为 $r - u$ 路径上除 $u$ 之外的所有此类顶点 $v$ 计算 $L_x(v)$，其中 $l$ 是 $r - u$ 路径的长度。同样，若在 $u$ 的任何祖先 $y$ 处检测到交叉路径，则图 $G$ 不是标签约束外平面图；否则，需要为 $T_r$ 中 $u$ 的度数为 1 或 2 的任何后代 $x$ 计算 $L_x(T_x)$，并验证其是否为平面标签，这也可在线性时间内完成。
- 情况 2：$u$ 是 $T_r$ 的根节点 ：需要为 $T_r$ 中 $r$ 的度数为 1 或 2 的任何后代 $x$ 计算 $L_x(T_x)$，并验证 $L_x(T_x)$ 是否为平面标签，同样可在线性时间内完成。

通过上述步骤，可以在线性时间内识别标签约束外平面图。相关定理表明，对于最大外平面图 $G$ 及其对偶树 $T$，可以在线性时间内判断是否存在 $T$ 的顶点 $r$，使得 $L_r(T_r)$ 是平面标签，并且如果存在这样的顶点 $r$，也可以在线性时间内找到它。

1.2 面积优势

之前已知的外平面图的最佳面积界限是 $O(dn \log n)$，其中 $d$ 是外平面图 $G$ 的最大度数。当 $G$ 的最大度数受常数限制时，可得到 $O(n \log n)$ 的面积界限。但外平面图的最大度数并不总是受常数限制，例如平凡外平面图的最大度数可能为 $n - 1$，不过它的直线网格绘制只需 $O(n)$ 面积。此外，存在无限多个外平面图，其最大度数为 $O(n^{0.5})$，使用 Frati 的算法对这类图进行直线网格绘制需要 $O(n^{1.5} \log n)$ 面积，而这里的算法可以产生 $O(n \log n)$ 面积的绘制结果。

2. 图对和图三元组的匹配可绘制性

匹配绘制是指对于一组平面图 $G_0, G_1, \ldots, G_{k - 1}$，其中每对 $G_i, G_j$ 中的顶点相互匹配，存在 $k$ 个直线平面绘制 $\Gamma_0, \Gamma_1, \ldots, \Gamma_{k - 1}$，使得 $\Gamma_i$ 表示 $G_i$，并且对于每对 $G_i, G_j$（$i \neq j$，$0 \leq i, j \leq k - 1$），描述匹配顶点的边是平行的。匹配绘制可以看作是几何同时嵌入的一种变体。

2.1 研究背景和动机

匹配绘制的研究符合特定的应用框架，之前的研究表明并非所有平面图对都能进行匹配绘制，但一些有意义的平面图对总是可以进行匹配绘制，例如每对具有顶点双射的树都可以进行匹配绘制。本文在此基础上进行了扩展，提出了新的可匹配绘制的平面图对，并开始研究多于两个平面图的匹配绘制。

2.2 主要结果

• 新的图对匹配绘制方法 ：提出了一种计算平面图对匹配绘制的新方法，该方法基于对图的顶点进行适当着色，并刻画总是允许平面层次实现的图的顶点层次。作为应用示例，证明了两个轮图、一个外平面图和一个轮图、一个外平面图和一个外柱图这几类图对是可匹配绘制的。具体步骤如下：
  1. 着色阶段 ：将顶点集 $V$ 中的顶点与集合 ${B, T}$ 中的标签相关联，这种标签称为 BT 标签，指定标记为 $B$（“底部”）的顶点将绘制在标记为 $T$（“顶部”）的顶点下方，BT 标签完全取决于图 $G_1$ 的拓扑结构。
  2. 层次划分阶段 ：考虑图 $G_0$ 的拓扑结构，为每个顶点分配集合 $Y = {y_0, y_1, \ldots, y_{n - 1}}$ 中的一个数字，使得每个标记为 $B$ 的顶点的数字小于任何标记为 $T$ 的顶点，这一阶段称为保色层次分配。
  3. 绘制阶段 ：计算匹配绘制 $\langle\Gamma_0, \Gamma_1\rangle$，顶点 $V$ 的 $y$ 坐标由保色层次分配确定。
• 图三元组的三角匹配绘制 ：引入并研究了平面图三元组的三角匹配绘制概念。通过这个概念发现了匹配可绘制性和同时可绘制性之间的新差异，例如虽然已知具有相同顶点集的图三元组（即使是简单路径）可能没有几何同时嵌入，但一个毛毛虫图和两个通用层次平面图的三元组总是可以进行三角匹配绘制。
• 循环图三元组的匹配绘制 ：利用上述图三元组匹配绘制的技术，结合适当的几何平移序列，证明了每个具有相同顶点集的循环图三元组都可以进行三角匹配绘制。

2.3 具体图对的匹配绘制示例 - ⟨外平面，外柱⟩

外柱图是一种最大外平面图，其外平面嵌入的弱对偶是一个毛毛虫图。对于匹配对 $\langle$ 外平面，外柱 $\rangle$，可以通过以下三个阶段进行匹配绘制：
- 着色阶段 ：设 $G$ 是外平面外柱图，$G^ $ 是其弱对偶。由于 $G$ 是最大的，$G^ $ 是一个最大顶点度数为 3 的毛毛虫图。找到两个叶节点 $f_s$ 和 $f_t$，分别与 $G^ $ 脊柱的不同端点相邻。设 $s$ 和 $t$ 分别是 $f_s$ 和 $f_t$ 中度数为 2 的两个顶点。顶点 $s$ 和 $t$ 用于将 $G$ 的外部面边界划分为两个不相交的有向路径：底部路径 $\Pi_b$ 和顶部路径 $\Pi_t$。将 $\Pi_t$ 中的每个顶点标记为 $T$，将 $\Pi_b$ 中的每个顶点标记为 $B$。
- 层次划分阶段 ：通过构造外平面图的直线平面绘制来计算顶点集 $V$ 的保色层次分配，使得每个标记为 $B$ 的顶点绘制在任何标记为 $T$ 的顶点下方。具体步骤如下：
1. 采用顶点添加策略进行匹配绘制，在每个步骤中绘制一个新顶点及其关联边，使得在当前绘制中添加一个新面。
2. 为顶点分配 $n$ 个不同的整数 $y$ 坐标，范围在 $[0, n - 1]$ 内，每个 $y$ 坐标最初标记为未使用，在绘制过程中分配给顶点时标记为已使用。
3. 设 $G^ $ 是 $G$ 的弱对偶，$f_0$ 是 $G$ 中对应于 $G^ $ 叶节点的面，$e_0$ 是 $f_0$ 中也属于 $G$ 外部面的边。设 $u$ 和 $v$ 是 $e_0$ 的端点，在步骤 0 和步骤 1 绘制顶点 $u$ 和 $v$。
4. 根据 $u$ 和 $v$ 的标签分配 $y$ 坐标，若都为 $B$ 标签，分配 $y$ 坐标 0 和 1；若都为 $T$ 标签，分配 $y$ 坐标 $n - 1$ 和 $n - 2$；否则，标签为 $B$ 的顶点分配 $y$ 坐标 0，另一个分配 $y$ 坐标 $n - 1$，$u$ 的 $x$ 坐标为 0，$v$ 的 $x$ 坐标为 1。
5. 在步骤 $i$（$2 \leq i \leq n - 1$），绘制一个新顶点及其关联边，通过对 $G^ $ 从 $f_0$ 开始进行 BFS 访问来选择要添加的新面。
6. 在任何步骤 $i$（$1 \leq i \leq n - 1$），维护两个不变量：对于绘制中的每条边 $e$，存在一个称为 $e$ 的安全区域 $R_e$ 的三角形区域，使得 $R_e$ 的一条边是 $e$，并且 $R_e$ 的至少两条边与每个未使用的 $y$ 坐标相交；绘制中任意两条边的安全区域要么内部不相交，要么一个安全区域完全包含在另一个中。
7. 根据 $u$ 和 $v$ 的标签情况以及新顶点 $w$ 的标签，确定 $w$ 的绘制位置和安全区域的更新，以维护不变量。
- 绘制阶段 ：假设每个顶点都有不同的 $y$ 坐标，且 $\Pi_b$ 中每个顶点的 $y$ 坐标小于 $\Pi_t$ 中任何顶点的 $y$ 坐标，$G$ 可以进行平面直线绘制以保留给定的 $y$ 坐标。具体步骤如下：
1. 首先证明当 $G$ 的弱对偶是路径时的情况，然后将论证扩展到弱对偶是具有度数大于 2 的顶点的毛毛虫图的一般情况。
2. 设 $\Pi_b$ 的大小为 $n_b$，从 $\Pi_b$ 的源点到汇点访问，用从 0 开始的递增整数标记遇到的任何顶点；同样，从 $\Pi_t$ 的源点到汇点访问，用从 $n_b$ 开始的递增整数标记遇到的任何顶点。
3. 在 $n_b$ 个步骤中计算 $G$ 的平面直线绘制以保留给定的 $y$ 坐标。在步骤 0，将顶点 0 绘制在 $x$ 坐标为 0 的位置，将与顶点 0 相邻的 $\Pi_t$ 中的唯一顶点 $n_b$ 分配 $x$ 坐标 1。
4. 在步骤 $i$（$1 \leq i \leq n_b - 1$），绘制 $\Pi_b$ 中编号为 $i$ 的顶点及其相邻且尚未绘制的 $\Pi_t$ 中的顶点。顶点 $i$ 是一个包含一个或多个 $\Pi_t$ 顶点的扇的顶点，设 $k$ 是 $\Pi_t(i)$ 中最左边的顶点，它与 $\Pi_b$ 中先于顶点 $i$ 的某个顶点相邻，因此 $k$ 已在之前的步骤中绘制，且 $k$ 在步骤 $i$ 之前绘制的 $\Pi_t$ 所有顶点中具有最大的 $x$ 坐标 $x_k$。
5. 顶点 $i$ 的 $x$ 坐标大于 $x_k$，$\Pi_t(i)$ 中与顶点 $i$ 相邻的下一个顶点 $k + 1$ 的 $x$ 坐标大于 $x_i$。若 $\Pi_t(i)$ 至少还有另一个顶点 $k + 2$，选择一个足够大的 $x$ 坐标 $x_{k + 2}$，使得边 $(i, k + 2)$ 不与到目前为止绘制的任何其他边交叉。

综上所述，标签约束外平面图在绘制面积上具有优势，同时图对和图三元组的匹配可绘制性研究为图的可视化提供了新的方法和思路。以下是相关流程的 mermaid 流程图：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px;

    A([开始]):::startend --> B{节点 u 是否为根节点}:::decision
    B -->|否| C{节点 u 的度数}:::decision
    C -->|1 或 2| D{Lu(Tu) 是否为平面标签}:::decision
    D -->|是| E([完成判断]):::startend
    D -->|否| F(计算 Lx(Tx) 并验证):::process
    F --> E
    C -->|3| G(计算 Lx(v) 并判断祖先交叉路径):::process
    G --> H{是否有交叉路径}:::decision
    H -->|是| I([不是标签约束外平面图]):::startend
    H -->|否| F
    B -->|是| F
    J([开始图对匹配绘制]):::startend --> K(着色阶段):::process
    K --> L(层次划分阶段):::process
    L --> M(绘制阶段):::process
    M --> N([完成匹配绘制]):::startend

以下是一个简单的表格总结不同图的绘制面积情况：
| 图的类型 | 最大度数 | Frati 算法面积 | 本文算法面积 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 平凡外平面图 | $n - 1$ | - | $O(n)$ |
| 最大度数为 $O(n^{0.5})$ 的外平面图 | $O(n^{0.5})$ | $O(n^{1.5} \log n)$ | $O(n \log n)$ |

标签约束外平面图与图对和图三元组的匹配可绘制性研究

3. 相关概念回顾

在深入探讨更多细节之前，我们先回顾一些重要的图论概念，这些概念有助于更好地理解后续的内容。

概念名称	定义
轮图	由一个环和一个中心顶点组成，中心顶点与环上所有顶点相连
扇图	由一条路径和一个顶点（称为顶点）组成，顶点与路径上所有顶点相连，可通过从轮图中移除一条不与中心顶点相邻的边得到
外平面图	可以进行平面嵌入，使得所有顶点都在同一个面上的图，这样的嵌入称为外平面嵌入，包含所有顶点的面称为无界面或外部面，其他面称为有界面或内部面
最大外平面图	外平面图的一种，添加任何边都会破坏其外平面性
外平面外柱图	最大外平面图，其外平面嵌入的弱对偶是一个毛毛虫图

4. 图对匹配绘制方法的详细分析

4.1 着色阶段的重要性

着色阶段是图对匹配绘制方法的第一步，它通过为顶点分配 BT 标签，为后续的层次划分和绘制阶段奠定了基础。不同的图拓扑结构会导致不同的 BT 标签分配，从而影响最终的绘制结果。例如，在 ⟨外平面，外柱⟩ 图对中，根据外柱图的弱对偶结构，将顶点划分为底部路径和顶部路径，并分别标记为 B 和 T，这种划分方式保证了后续绘制的有序性。

4.2 层次划分阶段的技术要点

层次划分阶段的核心是保色层次分配，即根据图 $G_0$ 的拓扑结构为顶点分配 $y$ 坐标，同时保证标记为 B 的顶点的 $y$ 坐标小于标记为 T 的顶点。在这个过程中，需要维护两个重要的不变量：安全区域的存在和安全区域之间的关系。安全区域的存在确保了新顶点的绘制不会导致边的交叉，而安全区域之间的关系则保证了整个绘制过程的平面性。

以下是层次划分阶段的详细步骤总结：
1. 采用顶点添加策略，每次添加一个新顶点及其关联边，形成一个新面。
2. 为顶点分配 $n$ 个不同的 $y$ 坐标，并标记其使用状态。
3. 选择初始面和边，根据端点的标签分配初始 $y$ 坐标和 $x$ 坐标。
4. 通过 BFS 访问弱对偶图，选择要添加的新面。
5. 在每个步骤中，维护安全区域的不变量，根据顶点标签和安全区域的情况确定新顶点的绘制位置和安全区域的更新。

graph LR
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    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px;

    A([开始层次划分]):::startend --> B(初始化顶点 y 坐标和标记):::process
    B --> C(选择初始面和边):::process
    C --> D{端点标签情况}:::decision
    D -->|都为 B| E(分配 y 坐标 0 和 1):::process
    D -->|都为 T| F(分配 y 坐标 n - 1 和 n - 2):::process
    D -->|不同| G(标签为 B 分配 0，另一个分配 n - 1):::process
    E --> H(绘制初始顶点):::process
    F --> H
    G --> H
    H --> I(进行 BFS 访问弱对偶图):::process
    I --> J(选择新面和顶点):::process
    J --> K{新顶点标签}:::decision
    K -->|B| L(根据安全区域确定位置):::process
    K -->|T| M(根据安全区域确定位置):::process
    L --> N(更新安全区域):::process
    M --> N
    N --> O{是否还有新顶点}:::decision
    O -->|是| J
    O -->|否| P([完成层次划分]):::startend

4.3 绘制阶段的实现细节

绘制阶段的目标是根据前面确定的 $y$ 坐标，为顶点分配 $x$ 坐标，使得图可以进行平面直线绘制。在 ⟨外平面，外柱⟩ 图对的绘制中，首先处理弱对偶为路径的情况，然后扩展到一般的毛毛虫图。具体步骤如下：
1. 对路径进行编号，分别为底部路径和顶部路径的顶点分配递增的整数编号。
2. 在步骤 0，绘制顶点 0 并为其相邻的顶部路径顶点分配 $x$ 坐标。
3. 在后续步骤中，绘制底部路径的顶点及其相邻的顶部路径顶点，确保边不交叉。

5. 图三元组匹配绘制的意义和应用

图三元组的匹配绘制研究为图的可视化和分析提供了更广阔的视角。通过引入三角匹配绘制的概念，发现了匹配可绘制性和同时可绘制性之间的新差异。例如，毛毛虫图和两个通用层次平面图的三元组总是可以进行三角匹配绘制，这为处理复杂的图结构提供了新的方法。

在实际应用中，图三元组的匹配绘制可以用于多组数据之间的关系可视化，通过将不同的图进行匹配绘制，可以更直观地展示数据之间的关联。

6. 总结与展望

本文介绍了标签约束外平面图的识别算法和面积优势，以及图对和图三元组的匹配可绘制性研究。标签约束外平面图在绘制面积上具有明显的优势，而图对和图三元组的匹配绘制方法为图的可视化提供了新的思路和技术。

未来的研究可以进一步扩展到更多图的组合和更高维度的匹配绘制，同时探索如何将这些方法应用到更广泛的领域，如社交网络分析、生物信息学等。此外，还可以研究如何优化算法的时间复杂度和空间复杂度，以提高算法的效率。

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;

    A([当前研究]):::startend --> B(扩展到更多图的组合):::process
    A --> C(研究更高维度的匹配绘制):::process
    A --> D(应用到更广泛的领域):::process
    A --> E(优化算法复杂度):::process
    B --> F([未来研究方向]):::startend
    C --> F
    D --> F
    E --> F

总之，图的匹配绘制研究在理论和应用方面都具有重要的价值，未来的发展前景十分广阔。