52、固定 - 移动二部图的平面绘制及相关图绘制问题研究

固定 - 移动二部图的平面绘制及相关图绘制问题研究

1. 固定 - 移动二部图平面绘制算法复杂度

在固定 - 移动二部图的平面绘制中，相关算法的时间复杂度与图的规模相关。对于图 $G_c$，上述算法在其规模上采用多项式时间。具体而言，树 $T$ 中多个节点可能出现的簇（即那些由多个簇循环共享的簇）的数量最多为图 $G_x$ 中的循环数量。因此，$T$ 中所有节点的簇总数与 $G_c$ 中的簇数量呈线性关系，这也意味着 $T$ 中所有簇的单元顶点总数与 $G_c$ 中的单元顶点数量呈线性关系。最后，树 $T$ 的每个节点 $\mu$ 会被访问两次（一次自底向上访问，一次自顶向下访问），并且在每次访问 $\mu$ 时，算法的运行时间是 $\mu$ 中簇的单元顶点数量的多项式。

2. 组合推广问题的 NP 完全性

有一个关于固定 - 移动二部图的组合推广问题，其判定是否存在满足特定条件的子图是 NP 完全的。
- 问题描述 ：设 $G_x = (C, E)$ 是一个图，其中 $C$ 是不相交的单元簇集合。设 $G_c = (V, E)$ 是一个图，其中每个 $v \in V$ 是簇 $C(v) \in C$ 的一个单元，并且只有当 $(C(u), C(v)) \in E$ 时，$(u, v) \in E$。判定是否存在骨架顶点的子集 $V’ \subseteq V$，该子集包含 $C$ 中每个簇的恰好一个单元，使得诱导子图 $G_c[V’]$ 与 $G_x$ 同构，这个问题是 NP 完全的。
- 证明思路 ：该问题显然属于 NP 问题。通过从 3Sat 问题进行归约来证明其难度。对于布尔