12、平面不相交路径补全问题的研究

平面不相交路径补全问题的研究

1. 树宽相关概念

树宽是图论中的一个重要概念。对于图 $G$，其树分解是一个二元组 $(X, T)$，其中 $T$ 是以 ${1, \ldots, m}$ 为节点的树，$X = {X_i | i \in V(T)}$ 是 $V(G)$ 的子集（称为袋）的集合，并且满足以下三个条件：
1. $\bigcup_{i\in V(T)} X_i = V(G)$；
2. 对于 $E(G)$ 中的每条边 ${x, y}$，存在 $i \in V(T)$ 使得 ${x, y} \subseteq X_i$；
3. 对于 $V(G)$ 中的每个顶点 $x$，集合 ${i | x \in X_i}$ 诱导出 $T$ 的一个连通子树。

树分解 $({X_i | i \in V(T)}, T)$ 的宽度定义为 $\max_{i\in V(T)} {|X_i| - 1}$。图 $G$ 的树宽记为 $tw(G)$，是其所有树分解中的最小宽度。

2. 补全大小的界定

2.1 定理及引理

有如下定理：如果平面不相交路径补全问题 $PDPC(G, s_1, t_1, \ldots, s_k, t_k, \ell, F)$ 存在解，那么存在一个解 $(P, J)$ 使得 $|E(P)| \leq k^{2k}$。为证明该定理，使用了一个组合引理：设 $\Sigma$ 是大小为 $|\Sigma| = k$ 的字母表，$w \in \Sigma^*$ 是 $\Sigma$ 上的一个单词。如果 $|w| > 2k$，那么 $w$ 包含一个长度 $|y| \geq 2$ 的子串 $y$，使得 $y$ 中出