37、固定嵌入的平面双连通性增强问题研究

固定嵌入的平面双连通性增强问题研究

1. 问题概述

在图论领域，平面双连通性增强问题（PBA - Fix）是一个重要的研究方向。它主要探讨如何在保持图的平面嵌入不变的情况下，通过添加最少数量的边使图达到双连通性。本文将深入研究该问题，首先证明对于非连通图，PBA - Fix 问题是 NP 难的，然后针对连通图提出一种高效的算法，并证明其最优性。

2. PBA - Fix 问题对于非连通图的 NP 难证明

2.1 3 - PARTITION 问题

3 - PARTITION 问题是一个强 NP 完全的决策问题，其定义如下：给定 3m 个正整数 (s_1, \ldots, s_{3m}) 和一个正整数界限 B，满足 (\sum_{i = 1}^{3m} s_i = mB)，且对于 (i = 1, \ldots, 3m) 有 (B/4 < s_i < B/2)，问是否可以将 (s_1, \ldots, s_{3m}) 划分为 m 个三元组 (S_1, \ldots, S_m)，使得对于 (j = 1, \ldots, m) 有 (\sum_{s \in S_j} s = B)。

2.2 构造图 (G_I)

考虑 3 - PARTITION 问题的一个实例 (I = \langle s_1, \ldots, s_{3m}; B \rangle)，我们构造一个平面的、非连通的图 (G_I = (V, E)) 及其嵌入 (\Pi_I)。(G_I) 由 (3m + 1) 个连通分量组成：3m 个简单树代表整数 (s_1, \ldots, s_{3m})，以及一个稠密图（图中阴影部分），该稠密图有 m 个相关面，