49、无环图的彩色点集嵌入

无环图的彩色点集嵌入

在图的绘制问题中，点集嵌入是一个重要的研究方向。本文将探讨无环图的彩色点集嵌入问题，包括相关的概念、研究背景、主要结果以及一些关键引理和定理的证明。

1. 研究背景

早期，Pach和Wenger研究了在顶点位置固定的约束下计算平面图绘制的问题。他们证明了对于任何给定的顶点到平面上点的映射，具有n个顶点的平面图可以实现曲线复杂度（即每条边的弯曲次数）为O(n)的平面绘制。并且当图有O(n)条独立边时，随着n趋于无穷，这个曲线复杂度的界限几乎是紧的。这意味着即使对于结构非常简单的图，如路径或匹配，在顶点位置固定的平面绘制中，曲线复杂度也可能达到Ω(n)。

这些结果促使人们研究该问题的一个松弛版本，即k - 彩色点集可嵌入性问题。在这个问题中，输入包括一个n - 顶点的平面图G，每个顶点被赋予k种不同颜色之一，以及一个包含n个不同点的集合S，每个点也被赋予k种不同颜色之一，且S中具有某种颜色i的点的数量与G中具有颜色i的顶点数量相同。目标是计算G的一个平面绘制，使得曲线复杂度与n无关，并且每个特定颜色的顶点由相同颜色的点表示。

当k = n时，k - 彩色点集可嵌入性问题与顶点位置固定的绘制问题相同，因此Pach和Wenger的下界成立。所以一些论文聚焦于较小的k值（通常k ≤ 3），以探究在这种情况下是否能获得更好的曲线复杂度界限。

2. 预备知识

• 图的k - 着色 ：设G = (V, E)是一个图，G的k - 着色是V的一个划分{V0, V1, …, Vk - 1}，整数0, 1, …, k - 1被称为颜色，G被称为k - 着色图。对于每个顶点