28、欧几里得空间中的最小最大树覆盖与带加权度约束的网络设计

欧几里得空间中的最小最大树覆盖与带加权度约束的网络设计

在图论和网络设计领域，最小最大树覆盖问题以及带加权度约束的网络设计问题是重要的研究方向。下面将详细介绍相关算法和理论。

最小最大树覆盖问题

在欧几里得空间 $R^d$（$d \geq 2$）中，对于一个图 $G$ 的生成树 $T^ $，我们的目标是找到一个 $k$ - 可允许族 $S^ $。这里 $w(T^*) = k$，其中 $k$ 是一个大于等于 1 的整数。

TreeCover 算法

该算法的输入是欧几里得空间 $R^d$ 中一个图 $G$ 的生成树 $T^ $，输出是一个 $k$ - 可允许族 $S^ $。具体步骤如下：

Algorithm TreeCover
Input: A spanning tree T ∗ of a graph G in the Euclidean space
Rd (d ≥ 2), where w(T ∗) = k for an integer k ≥ 1.
Output: A k - admissible family S∗ for α = 1/2 + √2 (d = 2) and
α = 2√3 − 3/2 (d ≥ 3).
1. Let S∗ := ∅; Let T := T ∗, regarding T as a tree rooted at a
   vertex r with deg(r) = 1;
2. while w(T) > 3α/2 do
3.     if T has an active 1 - boundar