27、动态图算法与欧几里得空间中的最小最大树覆盖

动态图算法与欧几里得空间中的最小最大树覆盖

在图论和算法设计领域，动态图算法以及图的划分问题一直是研究的热点。本文将深入探讨两个重要的主题：一是用于识别适当区间图的全动态图算法，二是欧几里得空间中的最小最大树覆盖问题。

适当区间图的全动态图算法

适当区间图是图论中的一类重要图，在许多实际应用中都有广泛的用途。为了有效地处理这类图，需要设计高效的动态图算法，能够在图中插入或删除边时快速做出响应。

插入操作

• 条件判断与重命名 ：当满足(\vert K_1 - S\vert = 1)且(\vert K_2 - S\vert > 1)时，将(K_1)重命名为(K)，将(S)重命名为(S_2)。
• 顶点移动 ：
  • 若(v_2)在(T_{a + b}(K_2))中，将(v_2)移动到(T_{l + r}(S_2))，使其成为(T_l(S_2))的第一个顶点和(T_r(S_2))的最后一个顶点。
  • 若(v_2)在(T_l(S’_2))中，将(v_2)移动到(T_l(S_2))，使其成为最后一个顶点，并增加(count(K_2))的值。
• 对称情况 ：当(\vert K_1 - S\vert > 1)且(\vert K_2 - S\vert = 1)时，情况与上述对称。

插入操作的时间复杂度为(O(\log n))，其中(n)是图(G)的顶点数。该操作能够在保证图为适当区间图