16、欧几里得瓶颈斯坦纳树问题与图的共线着色研究

欧几里得瓶颈斯坦纳树问题与图的共线着色研究

1. 欧几里得瓶颈斯坦纳树问题

在欧几里得瓶颈斯坦纳树问题中，之前定理 2 所涉及算法的运行时间对参数 k 呈指数级，但对点数 n 呈多项式级。对于任意常数 k，该算法的时间复杂度为 O(n log n)，这是一个显著的成果，因为此前对于任意 k 值，即使是在直线距离情况下，也没有已知的关于 n 的多项式精确算法来解决瓶颈斯坦纳树问题。

为了允许斯坦纳点之间存在边，需要进行更多的几何观察。下面来看看最优解的一些性质。
- 最优解的性质 ：
考虑 k 个斯坦纳点的最优位置及其对应的欧几里得斯坦纳树。设 si ∈V 的最优位置为 qi ∈R²，所得的斯坦纳树为 T ∗，其中 Q := {q1, …, qk}。令 Ni 为在 T ∗ 中与 qi 相邻的 P ∪Q 中的点集，ri 为 T ∗ 中与 qi 关联的最长边的长度，Di 是以 qi 为圆心、ri 为半径的圆盘。通过局部优化，可以使每个 Di 的边界上有 Ni 中的两个或三个点。
- 引理 5 ：存在 k 个斯坦纳点的最优位置 q1, …, qk，使得：
- Di 由 Ni 中的两个直径端点或三个点确定，且这三个点分别属于不同的分量 Tj。
- 如果 Di 的边界上有属于 Tj ∩Ni 的终端点 p，那么 Di 的内部不包含 Tj 中的其他终端点 p′。
- 证明思路 ：
- 首先证明存在满足条件 (1) 的最优解。假设 q1, …, qk 是 k 个斯坦纳点的最优位置，若存在 Di 不满足条件 (1)，有两种可能情况。一种是