49、最小成员覆盖与击中问题研究

最小成员覆盖与击中问题研究

在计算几何领域，最小成员覆盖与击中问题是一类重要的优化问题，涉及到如何用最少的几何对象覆盖或击中给定的点集。下面将详细介绍这些问题及其相关证明。

1. 矩形覆盖问题

1.1 与变量和子句小装置的交互

在某些问题中，会涉及到变量和子句小装置的交互。例如，在P1in3SAT实例中，子句 (C_3) 和 (C_4) 与变量之间存在特定的交互关系。子句中的点要么被变量矩形覆盖，要么被深度为1的子句矩形覆盖。

如果MMSCRIHL问题存在深度为1的覆盖，为了覆盖变量小装置中的点并使其深度为1，选择矩形只有两种可能。我们可以根据选择的矩形来设置变量的真值：如果从变量 (x_i) 的小装置中选择了所有偶数索引的矩形，则将 (x_i) 设置为真，否则设置为假。对于子句 (C_{\ell}=(x_i \vee x_j \vee x_k))，如果子句中有多个文字为真，则子句小装置中某个点的深度将大于1；如果子句不可满足，则要么至少有一个点未被覆盖，要么会有一个点的深度大于1。因此，每个子句中恰好有一个文字为真。

1.2 锚定在两条水平线上的矩形

通过从PP1in3SAT问题进行归约，可以证明锚定在两条水平线上的矩形的最小成员覆盖问题（MMSCRATHL）是NP难的。
- 变量小装置 ：对于变量 (x_i) 的小装置，考虑两条水平线上的12m个点，每条线包含6m个点。同时考虑12m个矩形，每个矩形 (i) 恰好覆盖两个点 (p_i) 和 (p_{i + 1})（(1 \leq i \leq 12m - 1)），矩形12m覆盖点 (p_{12m}) 和 (p_1